Die kubisch–dichteste Kugelpackung

In diesem Abschnitt geht es darum, wie man Kugeln möglichst dicht packt. Der erste Schritt ist wirklich einfach. In eine Ebene wird eine Schicht Kugeln hingelegt. Das sieht dann so aus wie in Bild 1. Sie sehen von oben auf die Kugelschicht. Die Kugeln liegen in Reihen, die jeweils um eine halbe Kugellänge gegeneinander versetzt sind.

Starten Sie die Jsmol–Visualisierung, in der Sie den Aufbau der hexagonal–dichtesten Kugelpackung in 10 Schritten nachvollziehen können, entsprechend den Bildern 1 bis 11.

Auch der zweite Schritt ist einfach. Auf die erste Schicht kommt eine zweite Schicht Kugeln. Natürlich legt man sie in die Mulden, die aus jeweils 3 Kugeln der ersten Schicht gebildet werden. Diese Mulden sind in Bild 2 markiert. Einige habe ich schwarz markiert, die anderen weiß. Und warum ?

Das sehen Sie in Bild 3, wenn die erste Kugel der zweiten Schicht gelegt wird. Ich habe sie auf eine schwarze Markierung gelegt. Die neue Kugel ist durchsichtig, damit Sie die Kugeln darunter und besonders die schwarze Markierung noch sehen können. Auf die benachbarten weißen Markierungen kann man nun keine Kugeln mehr legen. Sie sind zu nah an der schon liegenden Kugel. Erst auf die nächstfolgenden schwarzen Markierungen können wieder Kugeln gelegt werden.

Reden wir nicht nur davon, tun wir es. In Bild 4 sind 2 weitere Kugeln der zweiten Schicht angekommen. Wie die zuvor dazugekommene Kugel sind auch die beiden neuen durchsichtig. Sie sehen, dass sie auf den schwarzen Markierungen liegen. Und sicher ist Ihnen schon klar, dass alle Kugeln der zweiten Schicht auf den schwarzen Markierungen liegen werden, und keine auf den weißen.

Die zweite Kugelschicht ist nun vollständig. Niemand wird es wundern : alle Kugeln dieser Schicht liegen in den Mulden zwischen jeweils 3 Kugeln der ersten Schicht, und alle liegen auf den schwarzen Markierungen. Bild 5 zeigt die Situation.

Nun geht es an die dritte Schicht. Wo können die Kugeln dieser Schicht liegen ? Natürlich in den Mulden von jeweils 3 Kugeln der zweiten Schicht. Wie schon 4 Absätze weiter oben gibt es wieder 2 Möglichkeiten. Entweder können die neuen Kugeln über den weißen Markierungen liegen, die auf den Bildern links ja immer noch sichtbar sind. Oder sie können in den nicht markierten Mulden liegen, dort, wo die Kugeln der ersten Schicht durchscheinen. Bei der kubisch–dichtesten Kugelpackung wird die erste Möglichkeit realisiert. (Die andere Möglichkeit finden Sie in der hexagonal–dichtesten Kugelpackung.) Die Kugeln der dritten Schicht liegen genau über den weißen Markierungen. In Bild 6 ist erstmal eine einzige Kugel in der dritten Schicht angekommen. Sie ist durchsichtig, und so können Sie gut sehen, dass sie weder über einer Kugel der ersten Schicht noch über einer der zweiten Schicht liegt. Vielmehr liegt sie über einer weißen Markierung.

Die dritte Schicht wächst. In Bild 7 umfasst sie nun 5 Kugeln. Alle 5 liegen weder über der ersten noch der zweiten Schicht, sondern über weißen Markierungen. Die Kugeln der dritten (und später der vierten) Schicht haben eine rötliche Farbe. Der einzige Grund ist, sie optisch besser von den Kugeln der anderen Schichten unterscheiden zu können. In der Realität sind es natürlich Atome desselben Elements, die sich nicht weiter unterscheiden.

Die dritte Schicht ist nun vollständig. Jede Kugel dieser Schicht liegt über einer weißen Markierung. Bild 8 zeigt die Situation.

Wo wird die vierte Schicht hingelegt ? Alle schwarzen und weißen Markierungen sind von den Kugeln der zweiten und dritten Schicht belegt. Den Kugeln der vierten Schicht bleibt nichts anderes übrig, als sich direkt über Kugeln einer anderen Schicht zu legen. Sie liegen genau über denen der ersten Schicht. In Bild 9 ist das nicht allzu gut zu erkennen. Besser sehen Sie in der Jsmol–Visualisierung oder auf dem nächsten Bild.

Die Ansicht von oben in Bild 9 war ja nicht sehr übersichtlich. Hier, in Bild 10, sehen Sie dieselbe Szene, aber von der Seite. Es ist jetzt wirklich nicht mehr zu übersehen, wo die Kugeln der vierten Schicht liegen – genau über denen der ersten Schicht.

Wo werden die Kugeln der folgenden Schichten wohl liegen ? Sie sehen es in Bild 11.

Das Prinzip der kubisch–dichtesten Kugelpackung ist nun klar. Die nächsten Schichten werden genauso auf die vorhandenen gelegt wie bisher. Über der ersten Schicht liegt die vierte, über der zweiten die fünfte, über der dritten die sechste, und so weiter.

Betrachten Sie dazu am besten die Jsmol–Visualisierung. Zu Beginn sehen Sie 6 Schichten von Kugeln. Nach dem ersten Schritt (klicken Sie dazu einmal auf den Knopf „Würfel freilegen”) werden die Schichten unterschiedlich eingefärbt. Im nächsten Schritt werden die 6 Schichten in eine geschickte Position gedreht, und im dritten Schritt verschwindet die oberste Schicht bis auf ein Atom, das wir noch brauchen.

Im vierten Schritt erscheint der Würfel. Die Atome an seinen Ecken sind nun blau gefärbt. Mittig auf den Flächen des Würfels liegen insgesamt 6 mattgrüne Atome. Im nächsten Schritt verschwinden einige Atome der zweiten Schicht von oben, so dass Sie den Würfel besser sehen können. Im sechsten und letzten Schritt werden die Ecken des Würfels miteinander verbunden.

Können Sie den Würfel jetzt wirklich gut erkennen ? Oder doch nicht so richtig ? Dann ändern Sie doch die Atomgröße. Sie können dann viel besser in das Innere der Schichten hineinsehen. Und betrachten Sie ihn aus anderen Richtungen, zum Beispiel aus „Richtung 1”. Jetzt sehen Sie deutlich, dass er sich über 4 Schichten erstreckt. Eine Kugel liegt außerhalb aller Schichten. Sie gehört zu der obersten Schicht, die schon im ersten Schritt verschwunden ist. Die 3 mit dieser Kugel verbundenen Kugeln liegen in der nächsten Schicht, weitere 3 Kugeln in der folgenden, und eine letzte Kugel noch eine Schicht tiefer. In den Bildern 12 und 13 ist diese Situation gezeigt.

Bild 14 zeigt eine solche Gruppe aus 4 Kugeln. Gemeint sind die 4 großen, kupferfarbenen Kugeln. Sie sind durchsichtig, damit Sie den Aufbau der Tetraederlücken besser erkennen können. Verbindet man die Mittelpunkte der 4 Kugeln, erhält man einen Tetraeder. Er ist mit eingezeichnet. Einige seiner Kanten scheinen stärker durch, andere schwächer, je nachdem, wie viele Kugeln zwischen ihm und dem Beobachter sind. Konsequenterweise heißt die Lücke im Innern des Tetraeders Tetraederlücke.

Im Innern der Tetraederlücke befindet sich eine kleine, undurchsichtige, rote Kugel. Der Grund ist nicht nur, die Lücke deutlicher sichtbar zu machen, sondern sie gibt auch einen Hinweis auf die Funktion von Lücken in Verbindungen.

Sehen Sie die Tetraederlücken in einer kleinen Jsmol–Visualisierung an.

Im ersten Schritt, in Bild 15, liegt die gegebene Kugel in der Mitte. Sie ist, wie alle Kugeln dieser und der folgenden Szenen, verkleinert, da Sie nur so alle Kugeln und die Tetraeder gut erkennen können. Die Mittelkugel ist von ihren 6 Nachbarn in der gleichen Schicht umgeben. Diese 6 Nachbarn sind kupferfarben (braun) und undurchsichtig. In 3 Mulden, die von der Mittelkugel und je 2 Nachbarkugeln gebildet werden, liegt je eine weitere Kugel. Diese 3 Kugeln liegen also in der oberen Schicht. Sie sind ebenfalls kupferfarben, aber fast völlig durchsichtig. Unterhalb der Schicht aus der blauen Mittelkugel und den 6 undurchsichtigen Nachbarn liegen noch einmal 3 Kugeln. Diese 3 Kugeln sind kupferfarben und halb durchsichtig. Jede dieser 3 Kugeln liegt in einer Mulde aus 3 Kugeln, jedoch können Sie diese Mulden nicht gut erkennen. Sie betrachten die Szene von oben.

Bild 16 zeigt fast dieselbe Szene wie das vorige, aber von vorn gesehen. Sie erkennen wieder die dunkelblaue Mittelkugel, die 6 kupferfarbenen, undurchsichtigen Nachbarn derselben Schicht und je 3 kupferfarbene, durchsichtige Nachbarn in der oberen und der unteren Schicht. Beachten Sie, dass, im Gegensatz zur hexagonal–dichtesten Packung, die Kugeln der oberen und der unteren Schicht nicht übereinander liegen.

Und die ersten 3 Tetraeder, an denen die Mittelkugel beteiligt ist, sind dazugekommen. Jeder dieser Tetraeder hat die Mittelkugel als Eckpunkt, ist ja klar. Jeder dieser Tetraeder hat außerdem 2 Kugeln der mittleren Schicht als Eckpunkte. Der vierte Eckpunkt schließlich ist die Kugel, die in der Mulde liegt, die die 3 vorigen Kugeln bilden, und die natürlich in der oberen Schicht liegt.

Analog zum vorigen Absatz lassen sich auch mit den Kugeln der unteren Schicht 3 weitere Tetraeder konstruieren, die Sie in Bild 17 sehen. Wieder hat jeder Tetraeder sowohl die Mittelkugel, 2 Kugeln der mittleren und eine der unteren Schicht als Ecken. Da die Kugeln der unteren Schicht nicht über denen der oberen Schicht liegen, liegen auch die neuen, schokoladenbraunen Tetraeder nicht direkt unter den alten, orangenen Tetaredern, sondern sind (natürlich neben der Spiegelung an der Ebene der mittleren Schicht) noch um 60 Grad gedreht.

Zwei hab ich noch. Bei einem der beiden restlichen Tetraeder bildet die Mittelkugel eine Ecke. Die Basis bilden die 3 durchsichtigen Kugeln der oberen Schicht. Der letzte ist spiegelverkehrt dazu und um 60 Grad gedreht. Seine Ecken sind die Mittelkugel und die 3 durchsichtigen Kugeln der unteren Ebene. Diese 2 Tetraeder sind in Bild 18 gelb eingezeichnet.

Die Anfangsfrage ist nun beantwortet. Jede Kugel ist an 8 Tetraedern beteiligt.

Fangen wir in Bild 19 mit einem der orangen Tetraeder und der roten Kugel in seinem Innern an. Es ist derjenige, der auf Bild 18 links vorn ist. Nun suchen wir die nächsten Nachbarn dieser Kugel. Es sind nicht diejenigen in derselben Schicht (die also auch im Innern der orangen Tetraeder liegen würden). 2 der nächsten Nachbarn finden wir vielmehr in der unteren Schicht (also im Innern der schokoladenbraunen Tetraeder), den dritten direkt über der blauen Mittelkugel (also im oberen gelben Tetraeder). Verbindet man die erste Kugel mit ihren 3 Nachbarn, bilden die Verbindungslinien jeweils rechte Winkel. Vielleicht ahnen Sie schon, welcher einfache geometrische Körper entstehen wird.

Gehen wir nun zum nächsten orangen Tetraeder. Es ist der hinten links liegende. Wir suchen die nächsten Nachbarn der roten Kugel in seinem Innern und erwarten, keine Überraschung zu erleben. Unsere Erwartung wird nicht enttäuscht. In Bild 19 sehen Sie, dass 2 der Nachbarn in der unteren Schicht sind, der dritte über der blauen Mittelkugel.

Im nächsten Schritt geht es um die letzte rote Kugel, die in einem der orangen Tetraeder liegt. In Bild 20 sehen Sie die Verbindungen zwischen ihr und ihren 3 nächsten Nachbarn.

Zum guten Schluss verbinden wir noch die letzte, übrig gebliebene Kugel mit ihren 3 nächsten Nachbarn, und der Würfel ist perfekt. Naja, in Bild 21 liegt er ein wenig schräg im Raum, aber das lässt sich ändern.

In die richtige Richtung gedreht, so wie in Bild 22, sieht der Würfel aus, wie man Würfel von Bildern kennt. Dafür sind die Kugelschichten in die Schräge gedreht.

Damit sehen wir einen zweiten Grund, warum die kubisch–dichteste Kugelpackung kubisch heißt.

Zur Untersuchung der Größe der Tetraederlücken halbieren wir einen Tetraeder. Wir tun dies, indem wir eine Ebene so durch den Tetraeder legen, dass sie durch 2 Eckpunkte geht und 2 Seiten halbiert. Bild 23 links zeigt die Situation.

Die Ebene geht durch die beiden undurchsichtigen, kupferfarbenen Kugeln hinten und oben (es sind Ecken des Tetraeders) und durch die kleine rote Kugel in der Mitte des Tetraeders (sie füllt die Tetraederlücke aus). Mit den beiden anderen Ecken des Tetraeders, den durchsichtigen Kugeln vorn rechts und vorn links, hat die Ebene genau einen gemeinsamen Punkt. Sie ist Tangente an diese Kugeln.

Sehen Sie den durch eine Ebene halbierten Tetraeder in einer kleinen Jsmol–Visualisierung an.

Im nächsten Schritt sehen wir uns die Schnittebene an. Sie können sie in Bild 24 sehen. Die 2 blauen Kreise sind Schnitte durch die Kugeln der Kugelpackung. Der rote Kreis ist ein Schnitt durch eine Kugel, die die Tetraederlücke gerade ausfüllt. Wir führen einige Bezeichnungen ein und können schnell Aussagen über Stücke der Zeichnung machen.

• r_K : Radius der blauen Kugeln
• r_L : Radius der roten Kugel
• AB : Die Strecke AB hat die Länge 2r_K. Sie ist eine Kante des Tetraeders. Nenne die Länge dieser Strecke d_AB. Es ist also d_AB = 2r_K.
• AC und BC : Die Strecken AC und BC sind Seitenhalbierende der Tetraederflächen (denn wir haben die Schnittebene ja so gelegt, dass sie den Tetraeder halbiert). Ihre Länge brauchen wir nicht. Wichtig ist nur, dass jede Höhe des Tetraeders (er hat 4) ihren Fußpunkt auf der Seitenhalbierenden der gegenüberliegenden Fläche hat, und …
• BH ist eine Höhe des Tetraeders. Ihre Länge sei d_h. Eine Formelsammlung sagt uns, dass gilt : d_h = sqrt(2/3) ∗ d_AB. Es folgt d_h = sqrt(2/3) ∗ 2 ∗ r_K.

Die Bildung der Oktaederlücken ist etwas schwieriger zu verstehen als die der Tetraederlücken. Wir gehen daher kurz zum Beginn dieser Seite zurück. Dort haben wir eine Schicht Kugeln genauer angesehen. Jeweils 3 Kugeln haben eine Mulde gebildet. Die Hälfte der Mulden hatten wir schwarz markiert, die andere Hälfte weiß. In die Mulden mit der schwarzen Markierung hatten wir die Kugeln der zweiten Schicht gelegt. Dadurch haben sich Lücken gebildet, die von 4 Kugeln umschlossen waren – dies waren die Tetraederlücken. Sie sehen die Situation in Bild 25, das identisch mit Bild 3 ist. Aber was passiert mit den weiß markierten Mulden ?

Um das herauszufinden, markieren wir in der Kugelschicht 3 benachbarte Kugeln, indem wir sie undurchsichtig kupferfarben lassen, während die anderen Kugeln durchsichtig gezeichnet sind. Zwischen den 3 markierten Kugeln ist eine weiße Markierung (Bild 26).

Im nächsten Schritt legen wir auf die Mulden mit der schwarzen Markierung, die der weißen Markierung am nächsten liegen, Kugeln. Es gibt 3 solcher Mulden, also auch 3 neue Kugeln. Natürlich liegen sie in der zweiten Schicht. Die 3 markierten Kugeln der ersten Kugelschicht und die die 3 neuen Kugeln (auch sie sind markiert, d.h. undurchsichtig) liegen rund um die weiße Markierung. Die weiße Markierung ist also von 6 Kugeln umgeben (Bild 27).

Um die Umgebung der weißen Markierungen zu verstehen, brauchen wir die durchsichtigen Kugeln nicht mehr. Deshalb sehen Sie in Bild 28 nur noch die 6 markierten Kugeln. Sie sind jetzt durchsichtig gezeichnet, denn dann sehen Sie die Verbindungslinien zwischen den Kugelmittelpunkten. Können Sie auf dem linken Bild schon erkennen, dass die 6 Kugelmittelpunkte einen Oktaeder bilden ? Nein ? Ehrlich gesagt, ich auch nicht. Drehen wir also das linke Bild ein wenig um die x–Achse, und wir erhalten das rechte Bild. Hier sehen Sie den Oktaeder deutlich.

Im Detail werden wir nun etwas anders vorgehen als bei den Tetraederlücken. In Bild 29 sehen Sie in der Mitte die gegebene Kugel, dunkelblau und undurchsichtig. Sie ist umgeben von 6 Kugeln der gleichen Schicht, kupferfarben und undurchsichtig. Darüber sind Kugeln der nächsten Schicht, durchsichtig gezeichnet. Die Mittelpunkte von 3 Kugeln der oberen Schicht bilden zusammen mit den Mittelpunkten von 3 Kugeln der unteren Schicht einen Oktaeder. Er ist rot eingezeichnet. Wie die Kugeln der oberen Schicht in den Mulden, die von Kugeln der mittleren Schicht gebildet werden, liegen, sehen Sie auf Bild 29 links nicht deutlich. Nutzen Sie dafür die Jsmol–Visualisierung am Ende dieses Abschnitts.

Im nächsten Schritt erinnern wir uns an die Anordnung der Kugelschichten in der kubisch–dichtesten Kugelpackung. Über der gegebenen Schicht von Kugeln liegt eine Schicht von Kugeln, und natürlich auch darunter. Diese beiden Schichten (gemeint sind die über und die unter der gegebenen Schicht) liegen nicht wie bei der hexagonal–dichtesten Kugelpackung genau übereinander, sondern sind gegeneinander versetzt.

3 Kugeln der gegebenen Schicht und 3 Kugeln der darüberliegenden Schicht bilden ein Oktaeder, und genauso bilden 3 Kugeln der gegebenen Schicht (es sind aber nicht dieselben) mit 3 Kugeln der darunterliegenden Schicht ein Oktaeder. Da die beiden Schichten nicht übereinander liegen, liegen auch die Oktaeder nicht übereinander, sondern sind gegeneinander versetzt.

In Bild 30 sehen Sie diese Situation. Die gegebene Kugeln ist nun schon an 2 Oktaedern beteiligt.

Der dritte und letzte Schritt ist einfach. In den vorigen beiden Schritten hatten wir Oktaeder konstruiert, an denen die gegebene Kugel und 2 ihrer Nachbarn in der gleichen Schicht beteiligt waren. Die gegebene Kugel hat in der gleichen Schicht insgesamt 6 Nachbarn, also können wir die Schritte von eben noch zweimal wiederholen, und wir erhalten 4 weitere Oktaeder, an denen die gegebene Kugel beteiligt ist.

Die Anfangsfrage ist nun beantwortet. Jede Kugel ist an 6 Oktaedern beteiligt. Bild 31 zeigt sie.

Sehen wir uns erst eine der Oktaederlücken an. Sie gehört zu dem magentafarbenen Oktaeder rechts unten, und sie hat 4 Nachbarn. Das heißt, 4 der anderen Oktaederlücken sind gleichweit von ihr entfernt, die fünfte ist weiter weg. Das ist leicht zu begründen. Der magentafarbene Oktaeder hat 4 Oktaeder als Nachbarn. Mit diesen hat er eine gemeinsame Kante. Nur der blaue Oktaeder ist weiter entfernt. Der magentafarbene und der blaue Oktaeder haben nur eine gemeinsame Ecke.

Diese erste magentafarbene Lücke ist mit ihren 4 Nachbarn durch grüne Linien verbunden (Bild 32). Was wird wohl für ein geometrischer Körper entstehen, wenn man alle Kugeln mit ihren Nachbarn verbindet ? Man sieht es noch nicht.

Sehen wir uns als nächstes die Okatederlücke an, die der eben betrachteten gegenüber liegt. Sie gehört zu dem blauen Oktaeder, und natürlich hat sie auch 4 Nachbarn – nämlich alle außer dem magentafarbenen. Wir verbinden die Kugel in ihrem Innern mit den Kugeln im Innern der 4 Nachbaroktaeder durch grüne Linien (Bild 33).

Natürlich haben nicht nur der magentafarbene und der blaue Oktaeder 4 Nachbarn, sondern alle. Wir vervollständigen das Bild, indem wir auch die Kugeln im Innern der anderen Oktaeder mit den jeweiligen Nachbarkugeln verbinden. Insgesamt haben wir nun 12 grüne Verbindungslinien. Bestimmt sehen Sie schon in Bild 34, welchen einfachen geometrischen Körper diese Linien bilden. Oder doch nicht ?

Also drehen wir die Szene ein wenig. Nun ist es klar. Die Mittelpunkte der Oktaederlücken bilden wieder einen Oktaeder (Bild 35).

Zur Untersuchung der Größe der Oktaederlücken halbieren wir einen Oktaeder. Es gibt nur eine Möglichkeit, einen Oktaeder symmetrisch zu halbieren. Wir legen dazu eine Ebene durch 4 Eckpunkte. Bild 36 zeigt die Situation.

Die Schnittebene halbiert 4 Kugeln. Es sind die Ecken des Oktaeders, und ihre Mittelpunkte bilden ein Quadrat. in Bild 36 kaum zu sehen ist die (grün gezeichnete) Kugel, die die Oktaederlücke ausfüllt.

Sehen Sie den durch eine Ebene halbierten Oktaeder in einer kleinen Jsmol–Visualisierung an.

Im nächsten Schritt sehen wir uns die Schnittebene an. Sie können sie in Bild 37 sehen. Die 4 blauen Kreise sind Schnitte durch die Kugeln der Kugelpackung. Der grüne Kreis ist ein Schnitt durch eine Kugel, die die Oktaederlücke gerade ausfüllt. Wir führen einige Bezeichnungen ein und können schnell Aussagen über Stücke der Zeichnung machen.

• r_K : Radius der blauen Kugeln
• r_L : Radius der grünen Kugel
• AB : Die Strecke AB hat die Länge 2r_K. Sie ist eine Kante des Oktaeders. Nenne die Länge dieser Strecke d_AB. Es ist also d_AB = 2r_K.
• BC, CD und AD : Da der Schnitt durch den Oktaeder ein Quadrat ist, haben diese Seite dieselbe Länge 2r_K.
• AM, BM, CM und DM : Alle diese Strecken vom Mittelpunkt M des Quadrats (und damit auch vom Mittelpunkt M des Oktaeders) zu seinen Ecken haben dieselbe Länge. Nenne sie d_AM. Es ist d_AM = r_K + r_L.