7.3.2. Die kubisch–dichteste Kugelpackung

Kleine Vorrede

Wenn Sie diese Seite mit der über die hexagonal–dichteste Kugelpackung vergleichen, werden Sie eine frappierende Ähnlichkeit feststellen. Das ist Absicht. Beide Kugelpackungen sind sehr ähnlich, aber ich verweise nicht von dieser auf die andere Seite und sage „Lesen Sie doch dort”, sondern stelle alle Aspekte der kubisch–dichtesten Packung ausführlich und im Zusammenhang dar, wie Sie es von mir gewohnt sind. Der copy–Befehl ist mein Freund. Natürlich gibt es auch Unterschiede zwischen den beiden Seiten, nämlich dort, wo es Unterschiede zwischen den beiden Packungen gibt. Finden Sie sie heraus.

Worum geht es ?

Es geht darum, wie Metalle und Edelgase kristallisieren. Wir benutzen dazu ein einfaches Modell. Die Atome sind in diesem Modell feste, starre und gleichgroße Kugeln. Sie können sie mit Tischtennisbällen oder den Kugeln eines Kugellagers vergleichen. In ein gegebenes Volumen sollen möglichst viele solcher Kugeln hineingepackt werden. Wie sind sie dann angeordnet, und welche Eigenschaften hat eine solche Anordnung von Kugeln ?

Diese Fragen werde ich zuerst anschaulich beantworten und dann mathematisch unterlegen.

Dazu ist der Abschnitt in Teile gegliedert.

Verstehen durch Ansehen

Beschreibung mit Mathematik

Interaktives Erkunden

7.3.2.1. Aufbau der Kugelpackung

 

 

 

Blick von oben auf eine Schicht Kugeln

Bild 1 : Blick von oben auf eine Schicht Kugeln.

In diesem Abschnitt geht es darum, wie man Kugeln möglichst dicht packt. Der erste Schritt ist wirklich einfach. In eine Ebene wird eine Schicht Kugeln hingelegt. Das sieht dann so aus wie in Bild 1. Sie sehen von oben auf die Kugelschicht. Die Kugeln liegen in Reihen, die jeweils um eine halbe Kugellänge gegeneinander versetzt sind.

Starten Sie die JSmol–Visualisierung, in der Sie den Aufbau der kubisch–dichtesten Kugelpackung in 10 Schritten nachvollziehen können, entsprechend den Bildern 1 bis 11.

 

eine Schicht Kugeln und Mulden

Bild 2 : Blick von oben auf eine Schicht Kugeln mit schwarz und weiß markierten Mulden.

Auch der zweite Schritt ist einfach. Auf die erste Schicht kommt eine zweite Schicht Kugeln. Natürlich legt man sie in die Mulden, die aus jeweils 3 Kugeln der ersten Schicht gebildet werden. Diese Mulden sind in Bild 2 markiert. Einige habe ich schwarz markiert, die anderen weiß. Und warum ?

 

Kugel in einer Mulde

Bild 3 : Auf einer schwarzen Markierung liegt die erste Kugel der zweiten Schicht.

Das sehen Sie in Bild 3, wenn die erste Kugel der zweiten Schicht gelegt wird. Ich habe sie auf eine schwarze Markierung gelegt. Die neue Kugel ist durchsichtig, damit Sie die Kugeln darunter und besonders die schwarze Markierung noch sehen können. Auf die benachbarten weißen Markierungen kann man nun keine Kugeln mehr legen. Sie sind zu nah an der schon liegenden Kugel. Erst auf die nächstfolgenden schwarzen Markierungen können wieder Kugeln gelegt werden.

 

3 Kugeln in gleich markierten Mulden

Bild 4 : Alle 3 Kugeln der zweiten Schicht liegen über den schwarzen Markierungen.

Reden wir nicht nur davon, tun wir es. In Bild 4 sind 2 weitere Kugeln der zweiten Schicht angekommen. Wie die zuvor dazugekommene Kugel sind auch die beiden neuen durchsichtig. Sie sehen, dass sie auf den schwarzen Markierungen liegen. Und sicher ist Ihnen schon klar, dass alle Kugeln der zweiten Schicht auf den schwarzen Markierungen liegen werden, und keine auf den weißen.

 

2 Schichten aus Kugeln

Bild 5 : Alle Kugeln der zweiten Schicht liegen über den schwarzen Markierungen.

Die zweite Kugelschicht ist nun vollständig. Niemand wird es wundern : alle Kugeln dieser Schicht liegen in den Mulden zwischen jeweils 3 Kugeln der ersten Schicht, und alle liegen auf den schwarzen Markierungen. Bild 5 zeigt die Situation.

 

 
 
2 Schichten aus Kugeln und eine weitere Kugel

Bild 6 : Von der dritten Schicht ist erst eine Kugel da.

Nun geht es an die dritte Schicht. Wo können die Kugeln dieser Schicht liegen ? Natürlich in den Mulden von jeweils 3 Kugeln der zweiten Schicht. Wie schon 4 Absätze weiter oben gibt es wieder 2 Möglichkeiten. Entweder können die neuen Kugeln über den weißen Markierungen liegen, die auf den Bildern ja immer noch sichtbar sind. Oder sie können in den nicht markierten Mulden liegen, dort, wo die Kugeln der ersten Schicht durchscheinen. Bei der kubisch–dichtesten Kugelpackung wird die erste Möglichkeit realisiert. (Die andere Möglichkeit finden Sie in der hexagonal–dichtesten Kugelpackung.) Die Kugeln der dritten Schicht liegen genau über den weißen Markierungen. In Bild 6 ist erstmal eine einzige Kugel in der dritten Schicht angekommen. Sie ist durchsichtig, und so können Sie gut sehen, dass sie weder über einer Kugel der ersten Schicht noch über einer der zweiten Schicht liegt. Vielmehr liegt sie über einer weißen Markierung.

 

3 Schichten aus Kugeln

Bild 7 : Alle 5 Kugeln der dritten Schicht liegen über einer weißen Markierung.

Die dritte Schicht wächst. In Bild 7 umfasst sie nun 5 Kugeln. Alle 5 liegen weder über der ersten noch der zweiten Schicht, sondern über weißen Markierungen. Die Kugeln der dritten (und später der vierten) Schicht haben eine rötliche Farbe. Der einzige Grund ist, sie optisch besser von den Kugeln der anderen Schichten unterscheiden zu können. In der Realität sind es natürlich Atome desselben Elements, die sich nicht weiter unterscheiden.

 

3 vollständige Schichten aus Kugeln

Bild 8 : Die dritte Schicht ist vollständig.

Die dritte Schicht ist nun vollständig. Jede Kugel dieser Schicht liegt über einer weißen Markierung. Bild 8 zeigt die Situation.

 

4 Schichten aus Kugeln

Bild 9 : Die Kugeln der vierten Schicht liegen genau über denen der ersten Schicht.

Wo wird die vierte Schicht hingelegt ? Alle schwarzen und weißen Markierungen sind von den Kugeln der zweiten und dritten Schicht belegt. Den Kugeln der vierten Schicht bleibt nichts anderes übrig, als sich direkt über Kugeln einer anderen Schicht zu legen. Sie liegen genau über denen der ersten Schicht. In Bild 9 ist das nicht allzu gut zu erkennen. Besser sehen Sie es in der JSmol–Visualisierung oder auf dem nächsten Bild.

 

4 Schichten aus Kugeln

Bild 10 : 4 Schichten von Kugeln liegen übereinander. Die Ansicht ist jetzt nicht von oben wie bei den vorigen Bildern, sondern von der Seite.

Die Ansicht von oben in Bild 9 war ja nicht sehr übersichtlich. Hier, in Bild 10, sehen Sie dieselbe Szene, aber von der Seite. Es ist jetzt wirklich nicht mehr zu übersehen, wo die Kugeln der vierten Schicht liegen – genau über denen der ersten Schicht.

 

6 Schichten aus Kugeln

Bild 11 : 6 Schichten von Kugeln liegen übereinander. Wer über wem liegt, ist deutlich zu erkennen.

Wo werden die Kugeln der folgenden Schichten wohl liegen ? Sie sehen es in Bild 11.

Das Prinzip der kubisch–dichtesten Kugelpackung ist nun klar. Die nächsten Schichten werden genauso auf die vorhandenen gelegt wie bisher. Über der ersten Schicht liegt die vierte, über der zweiten die fünfte, über der dritten die sechste, und so weiter.

Schichtenfolge. – Das geordnete Aufeinanderfolgen von Kugelschichten nennt man eine Schichtenfolge. Die Schichten werden mit Großbuchstaben bezeichnet. Bei der Benennung der Schichten beginnt man unten und geht nach oben. Genau übereinander liegende Schichten bekommen denselben Buchstaben. Die kubisch–dichteste Kugelpackung hat also (vgl. Bild 11) die Schichtenfolge ABCABCABC... , oder kurz ABC.

 

Sie können den Aufbau der kubisch–dichtesten Kugelpackung in 10 Schritten, entsprechend den Bildern im linken Teil dieser Seite, in einer JSmol–Visualisierung nachvollziehen.

7.3.2.2. Der Name und der Würfel

In vielen Schritten haben wir die kubisch–dichteste Kugelpackung aufgebaut, aber einen Würfel haben wir noch nicht gesehen. Wieso also heißt diese Packung kubisch ?

Tatsächlich ist in der Packung ein Würfel verborgen. Er ist nicht so einfach zu finden und freizulegen, und wir werden im Folgenden mehrere Schritte dazu benötigen. Aber dieser gut versteckte Würfel kann doch nicht der ganze Grund für den Namen sein. Ob da noch mehr dahintersteckt ?

Ja, klar. Dieser Würfel bildet die Elementarzelle der kubisch–dichtesten Kugelpackung. Und das ist nun wirklich Grund genug für den Namen.

Der Würfel wird freigelegt
6 Schichten aus Kugeln

Bild 12 : 6 Schichten von Kugeln, unterschiedlich gefärbt, Ansicht von der Seite.

6 Schichten aus Kugeln

Bild 13 : 6 Schichten von Kugeln, unterschiedlich gefärbt, Schrägansicht.

Wir beginnen mit einer bekannten Situation. 6 Kugelschichten liegen übereinander. Bild 12 zeigt diese Schichten von der Seite, es ist eine ähnliche Ansicht wie in Bild 11. In Bild 13 habe ich die Schichten gekippt, und Sie sehen sie in einer Schrägansicht. Dadurch können Sie ein wenig in die Schichten hinein sehen.

 

in den Kugelschichten enthaltener Würfel

Bild 14 : Die oberste Schicht ist bis auf eine Kugel verschwunden, und einige Kugeln sind blau oder hellgrün markiert. Mehr Info im Text.

Interessanter wird es im nächsten Bild (Bild 14). Die oberste Schicht habe ich fast vollständig entfernt, nur eine einzige Kugel ist geblieben. Insgesamt 8 Kugeln habe ich blau gefärbt. Es ist die verbliebene Kugel der obersten Schicht, je 3 in den darunter folgenden Schichten (eine davon sieht man kaum, sie ist fast ganz verdeckt) und schließlich eine Kugel in der vierten Schicht von oben (der dritten Schicht von unten).

Wenn Sie die Szene genauer betrachten, fällt auf, dass in der oberen Schicht zwischen je 2 blauen Kugeln eine hellgrüne ist. Auch sonst kommt es mehrfach vor, dass zwischen 2 blauen Kugeln eine hellgrüne ist. Ob das wohl Zufall ist ?

 

in den Kugelschichten enthaltener Würfel

Bild 15 : Würfel aus blauen Kugeln in der kubisch–dichtesten Kugelpackung, Schrägansicht.

in den Kugelschichten enthaltener Würfel

Bild 16 : Würfel aus blauen Kugeln in der kubisch–dichtesten Kugelpackung, Ansicht fast von der Seite.

Die Lösung des Rätsels finden Sie im nächsten Bild (Bild 15). Hier habe ich jede blaue Kugel mit ihren blauen Nachbarkugeln verbunden. Es sind immer 3 blaue Nachbarn, und alle Verbindungslinien bilden zusammen einen Würfel. Er liegt irgendwie schräg im Gelände, aber Sie werden bald seine Orientierung erkennen.

Auch die Rolle der hellgrünen Kugeln wird nun klar. Sie liegen (soweit man das in den Bildern sehen kann, aber es ist auch für die restlichen richtig) im Zentrum einer Würfelfläche (aus 4 blauen Kugeln). Die Sequenz blau – hellgrün – blau entspricht also im Würfel der Folge Ecke – Flächenmitte – Ecke.

Insgesamt hatte ich 8 Kugeln blau gefärbt, und ein Würfel hat 8 Ecken, ebenso entsprechen die 6 hellgrünen Kugeln der Mitte der 6 Würfelflächen. Alles passt. Die Kugeln der kubisch–dichtesten Kugelpackung definieren einen Würfel.

Die Elementarzelle. – Um genau zu sein : Man kann unendlich viele Würfel in die kubisch–dichteste Packung legen. Sie sind von unterschiedlicher Größe. Der eben beschriebene Würfel ist der kleinstmögliche. Und man kann nicht nur einen einzigen dieser Würfel in die kubisch–dichteste Packung legen, sondern daneben, daruner und darüber genau solche Würfel. Man kann also die gesamte Packung aus diesen Würfeln aufbauen. Der eben beschriebene Würfel ist die Elementarzelle der kubisch–dichtesten Kugelpackung.

 

Die Kubisch–flächenzentrierte Packung. – Wir werden die Elementarzelle in Kapitel 7.3.2.7. genauer besprechen. Aber schon jetzt kann man sagen : Sie besteht aus einem Würfel, an dessen 8 Ecken je eine Kugel ist, und in dessen Flächenmittelpunkten je eine Kugel ist. Ein solcher Würfel heißt flächenzentriert, und die kubisch–dichteste Kugelpackung heißt auch kubisch–flächenzentrierte Kugelpackung (engl. cubic face–centred).

 

Die kubisch–flächenzentrierte Kugelpackung ist dasselbe wie die kubisch–dichteste Kugelpackung.

Orientierung des Würfels. – Eine Frage ist noch offen. Wie ist die Orientierung des Würfels in den Kugelschichten ?

Bild 16 soll Ihnen einen, wenn auch sicher nicht perfekten, Eindruck von der räumlichen Beziehung geben. In den oberen beiden Schichten des Bildes sind je 3 Würfelecken. Darüber und darunter ist jeweils eine einzelne Kugel, die zum Würfel gehört. Bezogen auf den Würfel liegen diese beiden Kugeln in maximaler Entfernung voneinander, man könnte sagen, sie liegen gegenüber. Die Verbindungslinie zwischen ihnen ist also die Raumdiagonale des Würfels. Bezogen auf die Kugelschichten liegen sie, wenn man die Szene von der Seite betrachtet, genau übereinander.

Die Raumdiagonale des Würfels (der Elementarzelle) steht senkrecht auf den Kugelschichten.

Viermal dasselbe
Würfel mit mehreren Raumdiagonalen

Bild 17 : Würfel mit 2 Raumdiagonalen und Ebenen, die senkrecht dazu liegen. Mehr Info im Text.

In den vorigen Absätzen hatten Sie gesehen, dass eine der Raumdiagonalen des Würfels (der Elementarzelle) senkrecht auf den Kugelschichten steht, aus denen die Kugelpackung aufgebaut ist. Aber jeder Würfel hat 8 Ecken, somit 4 Raumdiagonalen. Ist die Raumdiagonale von eben etwas Besonderes ? Unterscheidet sie sich aufgrund dieser Eigenschaft von den 3 anderen ? Eine solche Diagonale würde man ausgezeichnet nennen.

Die Elementarzelle hat keine ausgezeichneten Raumdiagonalen. Sehen Sie sich dazu Bild 17 an. Ich habe die 8 Ecken des Würfels mit 4 Farben codiert. Zwischen jeweils 2 gleichfarbigen Ecken verläuft eine der 4 Raumdiagonalen des Würfels. 2 davon habe ich eingezeichnet.

Dazu habe ich einige Ebenen gezeichnet. Die beiden blauen Ebenen sind senkrecht zur blauen Raumdiagonale. Auf jeder der beiden sind 3 Kugeln des Würfels. Sie stehen für 2 vollständige Kugelschichten, denn die Kugeln setzen sich (vgl. dazu Bild 17) in der Ebene endlos fort. Betrachten Sie nun die beiden roten Kugeln. Die Situation ist dieselbe. Zwischen ihnen verläuft die rote Raumdiagonale, senkrecht dazu sind die beiden roten Ebenen mit je 3 Kugeln, und diese roten Ebenen definieren wieder 2 vollständige Kugelschichten. Um das Bild übersichtlich zu halten, habe ich zwischen den gelben und den grünen Kugeln keine Raumdiagonalen und keine Ebenen gezeichnet, aber auch hier könnte man das tun und entsprechende Kugelschichten definieren.

Man kann die Kugeln der kubisch–dichtesten Kugelpackung auf 4 Arten in Kugelschichten einteilen. Eine davon zeichnet man gern oder stellt sie optisch heraus, aber die anderen 3 sind genauso vorhanden.

Übrigens : Je 2 der Raumdiagonalen, und damit auch je 2 der farbigen Ebenen (Kugelschichten) schließen einen Winkel von 70,53 Grad ein. Der Komplementärwinkel zu 180 Grad beträgt 109,47 Grad – oh, das ist ja der Tetraederwinkel.

 

Eine Visualisierung

Sie können das Freilegen des Würfels auch in einer JSmol–Visualisierung verfolgen. Zu Beginn sehen Sie 6 Schichten von Kugeln. Mit dem Knopf „Würfel freilegen” führen Sie die einzelnen, eben beschriebenen weiteren Schritte aus.

Können Sie den Würfel jetzt wirklich gut erkennen ? Oder doch nicht so richtig ? Dann ändern Sie doch die Atomgröße. Sie können dann viel besser in das Innere der Schichten hineinsehen. Und betrachten Sie ihn aus anderen Richtungen, zum Beispiel aus „Richtung 1”. Jetzt sehen Sie deutlich, dass er sich über 4 Schichten erstreckt. Eine Kugel liegt außerhalb aller Schichten. Sie gehört zu der obersten Schicht, die schon im ersten Schritt verschwunden ist. Die 3 mit dieser Kugel verbundenen Kugeln liegen in der nächsten Schicht, weitere 3 Kugeln in der folgenden, und eine letzte Kugel noch eine Schicht tiefer. In den Bildern 12 bis 16 ist diese Situation gezeigt.

 

Der zweite Grund

Es gibt übrigens noch einen zweiten Grund für den Namen.

7.3.2.3. Nachbarn

Oft möchte man wissen, wieviele Nachbarn eine Kugel in einer Kugelpackung hat. Unter dem Begriff Nachbar soll hier verstanden werden, wieviele Kugeln eine gegebene Kugel berührt.

eine Schicht Kugeln

Bild 18 : Eine Schicht der kubisch dichtesten Kugelpackung. Die gegebene Kugel ist rot markiert.

Den ersten Teil der Antwort sehen Sie in Bild 18. Es ist Bild 1 ähnlich und zeigt wie dieses eine Schicht Kugeln der kubisch dichtesten Kugelpackung. Eine Kugel (ich nenne sie im folgenden die gegebene Kugel) ist rot markiert. Sie sehen sofort, dass in dieser Schicht 6 andere Kugeln die gegebene Kugel berühren. Wir haben also schon 6  Nachbarn gefunden.

Hat die gegebene Kugel noch mehr Nachbarn ? Und wo könnten sie liegen ?

 

eine Schicht Kugeln und eine Kugel dazu

Bild 19 : Die gegebene Kugel liegt (von den anderen Kugeln der eigenen Schicht getrennt) auf der darunter liegenden Schicht.

eine Schicht Kugeln und drei Kugeln dazu

Bild 20 : Die gegebene Kugel zusammen mit den anderen Kugeln ihrer Schicht, darüber 3 Kugeln einer weiteren Schicht.

Den zweiten Teil der Antwort sehen Sie in Bild 19. Ich habe die gegebene (rot gezeichnete) Kugel aus dem vorigen Bild von allen Nachbarn der gleichen Schicht getrennt und sie dann (als einzelne Kugel) auf die darunter liegende Schicht gelegt. Bild 3 zeigt, was dabei passiert. Die Kugel kommt in einer Mulde aus 3 Kugeln zu liegen. Die gegebene Kugel berührt also 3 Kugeln aus der Schicht darunter. Wir haben 3 weitere Nachbarn gefunden, insgesamt sind es nun 9 Nachbarn.

Weitere Nachbarn sollte man in der Schicht suchen, die über der gegebenen Kugel liegt. Bild 20 zeigt, was man findet. 3 Kugeln (transparent gezeichnet und doch die gegebene Kugel fast verdeckend) liegen in Mulden, die an die gegebene Kugel angrenzen. Bild 20 ist somit ähnlich zu Bild 4. Die 3 transparenten Kugeln berühren die gegebene Kugel. Wir haben 3 weitere Nachbarn gefunden, insgesamt sind es nun 12 Nachbarn.

Fazit. – In der kubisch–dichtesten Kugelpackung hat jede Kugel 12 Nachbarn. 6 sind in der gleichen Schicht wie die gegebene Kugel, 3 in der Schicht darüber, und 3 in der Schicht darunter.

Ein Unterschied

Bis hierher waren die Abschnitte über die Nachbarn der beiden dichtesten Kugelpackungen sehr ähnlich.

Doch gibt es auch Unterschiede ? Ja.

Die Bilder 19 und  20 zeigen die Ebenen unter und über der gegebenen Kugel in der kubisch–dichtesten Packung. Die Nachbarkugeln der gegebenen Kugel sind in diesen beiden Ebenen unterschiedlich angeordnet, einmal links oberhalb, rechts oberhalb und unterhalb der gegebenen Kugel, dann links unterhalb, rechts unterhalb und oberhalb. Der Grund ist die Schichtenfolge ABC (vgl. dazu Bild 11) in der kubisch–dichtesten Packung. Die Schichtenfolge wiederholt sich erst nach 3 Schichten, und näher beieinander liegende Schichten (wie die beiden betrachteten) haben unterschiedliche Anordnung.

Den Gegensatz dazu bildet die hexagonal–dichteste Kugelpackung. Ihre Schichtenfolge ist AB. Die Schicht über der gegebenen Kugel und die unter ihr gehören also zu gleich benannten Schichten (zum Beispiel A). Daraus folgt, dass die Kugeln dieser beiden Schichten genau übereinander liegen, und das ist es, was Sie in den Bildern 11 und 12 in Kapitel 7.3.1.2. (Nachbarn in der hexagonal–dichtesten Kugelpackung) sehen. In Bild 11 dort sind 3 Kugeln, die die gegebene Kugel berühren. Sie liegen links oberhalb, rechts oberhalb und unterhalb von ihr. Die 3 (transparenten) Kugeln in Bild 12 dort, die die gegebene Kugel berühren, liegen, relativ zu ihr, genauso.

7.3.2.4. Tetraederlücken

Lücken zwischen den Atomen. – Sie wissen jetzt, wie die Atome gepackt sind. Aber was ist zwischen den Atomen ? Nichts ? Naja, darüber kann man diskutieren. In Kapitel 3.7.9. finden Sie die Diskussion, soweit sie in diesem Projekt geführt werden kann. Sicher kann man sagen : Dort, zwischen den Atomen, ist Platz. Man nennt den Raum zwischen den Atomen eine Lücke. In der kubisch–dichtesten Kugelpackung gibt es 2 Arten von Lücken, nämlich die Tetraederlücken und die Oktaederlücken.

Sind Lücken wichtig ? – Würde ich sonst darüber schreiben ? Auf dieser Seite geht es darum, Kugeln einer Sorte möglichst dicht zu packen. Da sind Lücken weniger wichtig. Später wird es um die Kristallstrukturen von Verbindungen gehen. Dort werden Kugeln mehrerer Sorten (zum Beispiel positiv und negativ geladene Ionen) gepackt. Um solche Strukturen zu verstehen, ist es notwendig, Zahl, Lage und Größe der Lücken zu verstehen.

Mehr über Strukturen, die durch das Füllen der Lücken in dichtesten Kugelpackungen entstehen, erfahren Sie in Kapitel 7.4. (Ionenkristalle), in Kapitel 7.5. (Fehlordnung und verwandte Phänomene), in Kapitel 7.6. (Legierungen und Co – demnächst) und in Kapitel 7.10. (Vielfalt der Kristalle).

Was ist eine Tetraederlücke ?

In Bild 3 auf dieser Seite (es ging um den Aufbau der zweiten Kugelschicht) haben Sie gesehen, dass in einer Ebene Kugeln liegen, und dass in die Mulde, die 3 solcher Kugeln bilden, eine vierte gelegt wird. Aus der Mulde ist so ein räumliches Gebiet geworden, dass von 4 Kugeln begrenzt wird. Es ist also eine Lücke.

 

Tetraeder aus 4 Kugeln

Bild 21 : 4 Kugeln bilden einen Tetraeder, in seinem Innern ist die Tetraeder­lücke, gefüllt mit einem roten Atom.

Bild 21 zeigt eine solche Gruppe aus 4 Kugeln. Gemeint sind die 4 großen, kupferfarbenen Kugeln. Sie sind durchsichtig, damit Sie den Aufbau der Tetraederlücken besser erkennen können. Verbindet man die Mittelpunkte der 4 Kugeln, erhält man einen Tetraeder. Er ist mit eingezeichnet. Einige seiner Kanten scheinen stärker durch, andere schwächer, je nachdem, wie viele Kugeln zwischen ihm und dem Beobachter sind. Konsequenterweise heißt die Lücke im Innern des Tetraeders Tetraederlücke.

Im Innern der Tetraederlücke befindet sich eine kleine, undurchsichtige, rote Kugel. Der Grund ist nicht nur, die Lücke deutlicher sichtbar zu machen, sondern sie gibt auch einen Hinweis auf die Funktion von Lücken in Verbindungen.

Sehen Sie die Tetraederlücken in einer kleinen JSmol–Visualisierung an.

 

Wie viele Tetraederlücken gibt es ?

Dazu werden wir untersuchen, zu wievielen Tetraedern (und damit auch Tetraederlücken) eine gegebene Kugel gehört, das heißt, an wievielen Tetraedern sie beteiligt ist. Diese Kugel ist auf den Bildern der linken Spalte immer undurchsichtig und dunkelblau.

 

 
eine Kugel und ihre Nachbarn

Bild 22 : Die dunkelblaue Kugel und ihre Nachbarn, von oben gesehen.

Im ersten Schritt, in Bild 15, liegt die gegebene Kugel in der Mitte. Sie ist, wie alle Kugeln dieser und der folgenden Szenen, verkleinert, da Sie nur so alle Kugeln und die Tetraeder gut erkennen können. Die Mittelkugel ist von ihren 6 Nachbarn in der gleichen Schicht umgeben. Diese 6 Nachbarn sind kupferfarben (braun) und undurchsichtig. In 3 Mulden, die von der Mittelkugel und je 2 Nachbarkugeln gebildet werden, liegt je eine weitere Kugel. Diese 3 Kugeln liegen also in der oberen Schicht. Sie sind ebenfalls kupferfarben, aber fast völlig durchsichtig. Unterhalb der Schicht aus der blauen Mittelkugel und den 6 undurchsichtigen Nachbarn liegen noch einmal 3 Kugeln. Diese 3 Kugeln sind kupferfarben und halb durchsichtig. Jede dieser 3 Kugeln liegt in einer Mulde aus 3 Kugeln, jedoch können Sie diese Mulden nicht gut erkennen. Sie betrachten die Szene von oben.

 

eine Kugel und ihre 12 Nachbarn

Bild 23 : Dieselbe Szene wie im vorigen Bild, aber von vorn gesehen und mit 3 Tetraedern erweitert.

Bild 23 zeigt fast dieselbe Szene wie das vorige, aber von vorn gesehen. Sie erkennen wieder die dunkelblaue Mittelkugel, die 6 kupferfarbenen, undurchsichtigen Nachbarn derselben Schicht und je 3 kupferfarbene, durchsichtige Nachbarn in der oberen und der unteren Schicht. Beachten Sie, dass, im Gegensatz zur hexagonal–dichtesten Packung, die Kugeln der oberen und der unteren Schicht nicht übereinander liegen.

Und die ersten 3 Tetraeder, an denen die Mittelkugel beteiligt ist, sind dazugekommen. Jeder dieser Tetraeder hat die Mittelkugel als Eckpunkt, ist ja klar. Jeder dieser Tetraeder hat außerdem 2 Kugeln der mittleren Schicht als Eckpunkte. Der vierte Eckpunkt schließlich ist die Kugel, die in der Mulde liegt, die die 3 vorigen Kugeln bilden, und die natürlich in der oberen Schicht liegt.

 

eine Kugel, ihre Nachbarn und 6 Tetraeder

Bild 24 : Eine gegebene Kugel der kubisch–dichtesten Kugelpackung, die von ihren 12 Nachbarkugeln umgeben ist, dazu 6 Tetraeder, an denen die Mittelkugel beteiligt ist.

Analog zum vorigen Absatz lassen sich auch mit den Kugeln der unteren Schicht 3 weitere Tetraeder konstruieren, die Sie in Bild 24 sehen. Wieder hat jeder Tetraeder sowohl die Mittelkugel, 2 Kugeln der mittleren und eine der unteren Schicht als Ecken. Da die Kugeln der unteren Schicht nicht über denen der oberen Schicht liegen, liegen auch die neuen, schokoladenbraunen Tetraeder nicht direkt unter den alten, orangenen Tetaredern, sondern sind (natürlich neben der Spiegelung an der Ebene der mittleren Schicht) noch um 60 Grad gedreht.

 

eine Kugel und ihre 8 Tetraederlücken

Bild 25 : 2 weitere Tetraeder sind dazugekommen, und es ist klar, die Mittelkugel ist an 8 Tetraedern beteiligt.

Zwei hab ich noch. Bei einem der beiden restlichen Tetraeder bildet die Mittelkugel eine Ecke. Die Basis bilden die 3 durchsichtigen Kugeln der oberen Schicht. Der letzte ist spiegelverkehrt dazu und um 60 Grad gedreht. Seine Ecken sind die Mittelkugel und die 3 durchsichtigen Kugeln der unteren Ebene. Diese 2 Tetraeder sind in Bild 25 gelb eingezeichnet.

Die Anfangsfrage ist nun beantwortet. Jede Kugel ist an 8 Tetraedern beteiligt.

 

Wir wissen aber noch nicht, wieviele Tetraederlücken es gibt. Das ist aber leicht herauszufinden. Betrachten wir dazu eine Gruppe aus n Kugeln. Da jede Kugel an 8 Tetraedern beteiligt ist, kann man 8n Tetraeder konstruieren. Nun müssen wir nur noch beachten, dass wir jeden Tetraeder 4 mal konstruiert haben, denn er hat ja 4 Kugeln, und bei jeder dieser Kugeln haben wir ihn konstruiert. Die Gesamtzahl der Tetraeder muss also durch 4 geteilt werden, und wir erhalten 2n Tetraeder.

Eine Gruppe aus n Kugeln hat 2n Tetraederlücken. Es gibt also doppelt so viele Tetraederlücken wie Kugeln (=Atome).

Sehen Sie sich in einer JSmol–Visualisierung die Konstruktion der Tetraederlücken an. Rufen Sie die Jsmol–Visualisierung auf und ändern Sie Größe und Transparenz der Kugeln, so dass Ihnen die Szene übersichtlich erscheint. Blenden Sie die Tetraeder ein und wieder aus, und füllen Sie sie mit kleinen roten Kugeln. Betrachten Sie die Szene aus vielen Richtungen.

Wo liegen die Tetraederlücken ?

Es geht in diesem Abschnitt um die Frage, wie die Tetraederlücken in Bezug auf ein gegebenes Atom angeordnet sind. Naja, sie liegen drumherum. Kann man Genaueres sagen, wie sie um ein Atom herum angeordnet sind ? Ja, natürlich kann man das.

Sehen Sie sich dazu Bild 26 an. Es enthält (neben dem gegebenen Atom und seinen Nachbarn) 8 Tetraeder. In ihrem Innern sind die 8 Tetraederlücken, die das Atom umgeben. Im folgenden werden wir die Tetraederlücken durch kleine, rote Kugeln darstellen, die jeweils im Schwerpunkt der Lücke liegen.

 

Anordnung der Tetraederlücken

Bild 26 : Die roten Kugeln sind an den Mittelpunkten der Tetraederlücken. Eine ist mit ihren 3 Nachbarn verbunden.

Fangen wir in Bild 26 mit einem der orangen Tetraeder und der roten Kugel in seinem Innern an. Es ist derjenige, der auf Bild 25 links vorn ist. Nun suchen wir die nächsten Nachbarn dieser Kugel. Es sind nicht diejenigen in derselben Schicht (die also auch im Innern der orangen Tetraeder liegen würden). 2 der nächsten Nachbarn finden wir vielmehr in der unteren Schicht (also im Innern der schokoladenbraunen Tetraeder), den dritten direkt über der blauen Mittelkugel (also im oberen gelben Tetraeder). Verbindet man die erste Kugel mit ihren 3 Nachbarn, bilden die Verbindungslinien jeweils rechte Winkel. Vielleicht ahnen Sie schon, welcher einfache geometrische Körper entstehen wird.

 

Anordnung der Tetraederlücken

Bild 27 : Die Mittelpunkte von 2 Tetraederlücken oberhalb der mittleren Kugelschicht sind mit ihren nächsten Nachbarn verbunden.

Gehen wir nun zum nächsten orangen Tetraeder. Es ist der (in Bild 25) vorn rechts liegende. Wir suchen die nächsten Nachbarn der roten Kugel in seinem Innern und erwarten, keine Überraschung zu erleben. Unsere Erwartung wird nicht enttäuscht. In Bild 27 sehen Sie, dass 2 der Nachbarn in der unteren Schicht sind, der dritte über der blauen Mittelkugel.

 

8 Tetraederlücken scheinen einen Würfel zu bilden

Bild 28 : Verbindet man die Mittelpunkte weiterer Tetraederlücken, scheint sich ein Würfel zu bilden.

Im nächsten Schritt geht es um die letzte rote Kugel, die in einem der orangen Tetraeder liegt. In Bild 28 sehen Sie die Verbindungen zwischen ihr und ihren 3 nächsten Nachbarn.

 

8 Tetraederlücken bilden einen Würfel

Bild 29 : Ja wirklich. Alle 8 Tetraederlücken sind verbunden, der Würfel ist perfekt.

Zum guten Schluss verbinden wir noch die letzte, übrig gebliebene Kugel mit ihren 3 nächsten Nachbarn, und der Würfel ist perfekt. Naja, in Bild 29 liegt er ein wenig schräg im Raum, aber das lässt sich ändern.

 

8 Tetraederlücken bilden einen Würfel

Bild 30 : Nun sieht der Würfel so aus, wie man ihn kennt.

In die richtige Richtung gedreht, so wie in Bild 30, sieht der Würfel aus, wie man Würfel von Bildern kennt. Dafür sind die Kugelschichten in die Schräge gedreht.

Damit sehen wir einen zweiten Grund, warum die kubisch–dichteste Kugelpackung kubisch heißt.

 

Insgesamt können wir festhalten : Jede Kugel der kubisch–dichtesten Kugelpackung wird von 8 Tetraederlücken umgeben. Die Lücken umgeben die Kugel in Form eines Würfels. Dies ist (im Gegensatz zur hexagonal–dichtesten Kugelpackung) ein ziemlich symmetrischer Körper, und es ist leicht zu sehen, dass alle Schwerpunkte der Tetraederlücken (also alle roten Kugeln) denselben Abstand von der blauen Mittelkugel haben, nämlich das 1,2247–fache des Radius dieser Kugel. Die Berechnung dieser Zahl können Sie weiter unten nachlesen, in der mathematischen Beschreibung der Kugelpackung, in Abschnitt 7.2.3.8.

Sehen Sie sich in einer JSmol–Visualisierung den Würfel an, den die Schwerpunkte der Tetraederlücken rund um eine Kugel bilden. Rufen Sie die JSmol–Visualisierung auf und ändern Sie Größe und Transparenz der Kugeln, so dass Ihnen die Szene übersichtlich erscheint. Blenden Sie den Würfel in mehreren Schritten ein und wieder aus. Wenn Sie wollen, können Sie auch die Tetraeder ein– und ausblenden, jedoch kann dies die Szene unübersichtlich machen. Betrachten Sie die Szene aus vielen Richtungen. Aus „Richtung 1” sehen Sie den Würfel aus einer gewohnten Richtung.

7.3.2.5. Oktaederlücken

Die Besprechung der Oktaederlücken erfolgt in Analogie zu den Tetraederlücken. Sie werden hier wie dort dieselben Argumentationslinien finden. Ich werde aber nicht auf den Abschnitt über die Tetraederlücken verweisen und einfach sagen „Sehen Sie doch dort nach, wie die Zusammenhänge sind”, sondern auch die Oktaederlücken in der gewohnten Art behandeln, und mich damit zwangsweise öfter wiederholen.

Wie die Tetraederlücken sind auch die Oktaederlücken Lücken zwischen den Atomen zweier Schichten. Da das Aufeinanderlegen von 2 Atomschichten bei der hexagonal–dichtesten und der kubisch–dichtesten Kugelpackung identisch ist (Unterschiede finden sich erst in der dritten Schicht), ist dieser Abschnitt dem analogen Abschnitt der hexagonal–dichtesten Kugelpackung identisch.

Was ist eine Oktaederlücke ?

 

 

Kugel in einer Mulde

Bild 31 : Die Kugeln der zweiten Schicht liegen über den schwarzen Markierungen. Dort sind Tetraederlücken.

Die Bildung der Oktaederlücken ist etwas schwieriger zu verstehen als die der Tetraederlücken. Wir gehen daher kurz zum Beginn dieser Seite zurück. Dort haben wir eine Schicht Kugeln genauer angesehen. Jeweils 3 Kugeln haben eine Mulde gebildet. Die Hälfte der Mulden hatten wir schwarz markiert, die andere Hälfte weiß. In die Mulden mit der schwarzen Markierung hatten wir die Kugeln der zweiten Schicht gelegt. Dadurch haben sich Lücken gebildet, die von 4 Kugeln umschlossen waren – dies waren die Tetraederlücken. Sie sehen die Situation in Bild 31, das identisch mit Bild 3 ist. Aber was passiert mit den weiß markierten Mulden ?

 

3 Kugeln in gleich markierten Mulden

Bild 32 : 3 Kugeln sind markiert.

Um das herauszufinden, markieren wir in der Kugelschicht 3 benachbarte Kugeln, indem wir sie undurchsichtig kupferfarben lassen, während die anderen Kugeln durchsichtig gezeichnet sind. Zwischen den 3 markierten Kugeln ist eine weiße Markierung (Bild 32).

 

6 markierte Kugeln

Bild 33 : 6 Kugeln sind markiert.

Im nächsten Schritt legen wir auf die Mulden mit der schwarzen Markierung, die der weißen Markierung am nächsten liegen, Kugeln. Es gibt 3 solcher Mulden, also auch 3 neue Kugeln. Natürlich liegen sie in der zweiten Schicht. Die 3 markierten Kugeln der ersten Kugelschicht und die die 3 neuen Kugeln (auch sie sind markiert, d.h. undurchsichtig) liegen rund um die weiße Markierung. Die weiße Markierung ist also von 6 Kugeln umgeben (Bild 33).

 

Oktaeder aus 6 Kugeln Oktaeder aus 6 Kugeln

Bild 34 : Auf dem ersten Bild sehen Sie den Oktaeder von schräg unten, auf dem zweiten so, wie man Oktaeder kennt – als Doppelpyramide.

Um die Umgebung der weißen Markierungen zu verstehen, brauchen wir die durchsichtigen Kugeln nicht mehr. Deshalb sehen Sie in Bild 34 nur noch die 6 markierten Kugeln. Sie sind jetzt durchsichtig gezeichnet, denn dann sehen Sie die Verbindungslinien zwischen den Kugelmittelpunkten. Können Sie auf dem linken Bild schon erkennen, dass die 6 Kugelmittelpunkte einen Oktaeder bilden ? Nein ? Ehrlich gesagt, ich auch nicht. Drehen wir also das linke Bild ein wenig um die x–Achse, und wir erhalten das rechte Bild. Hier sehen Sie den Oktaeder deutlich.

 

Jede weiße Markierung ist ein Gebiet zwischen Atomen. Sie ist von 6 Atomen oktaederförmig umgeben. Daher nennt man sie eine Oktaederlücke. Sehen Sie sich die Oktaederlücken in einer JSmol–Visualisierung an. Bauen Sie die Oktaederlücken wie in der Beschreibung dieses Abschnitts schrittweise auf. Betrachten Sie die Szene aus verschiedenen Richtungen.

Wie viele Oktaederlücken gibt es ?

Dazu werden wir untersuchen, zu wievielen Oktaedern (und damit auch Oktaederlücken) eine gegebene Kugel gehört, das heißt, an wievielen Oktaedern sie beteiligt ist. Diese Kugel ist auf den Bildern der linken Spalte immer undurchsichtig und dunkelblau.

 

eine Kugel, ihre Nachbarn und eine Oktaederlücke

Bild 35 : Die gegebene Kugel ist an mindestens einem Oktaeder beteiligt.

Im Detail werden wir nun etwas anders vorgehen als bei den Tetraederlücken. In Bild 35 sehen Sie in der Mitte die gegebene Kugel, dunkelblau und undurchsichtig. Sie ist umgeben von 6 Kugeln der gleichen Schicht, kupferfarben und undurchsichtig. Darüber sind Kugeln der nächsten Schicht, durchsichtig gezeichnet. Die Mittelpunkte von 3 Kugeln der oberen Schicht bilden zusammen mit den Mittelpunkten von 3 Kugeln der unteren Schicht einen Oktaeder. Er ist rot eingezeichnet. Wie die Kugeln der oberen Schicht in den Mulden, die von Kugeln der mittleren Schicht gebildet werden, liegen, sehen Sie auf Bild 35 nicht deutlich. Nutzen Sie dafür die JSmol–Visualisierung am Ende dieses Abschnitts.

 

eine Kugel, ihre Nachbarn und 2 Oktaederlücken

Bild 36 : Die gegebene Kugel ist an mindestens zwei Oktaedern beteiligt.

Im nächsten Schritt erinnern wir uns an die Anordnung der Kugelschichten in der kubisch–dichtesten Kugelpackung. Über der gegebenen Schicht von Kugeln liegt eine Schicht von Kugeln, und natürlich auch darunter. Diese beiden Schichten (gemeint sind die über und die unter der gegebenen Schicht) liegen nicht wie bei der hexagonal–dichtesten Kugelpackung genau übereinander, sondern sind gegeneinander versetzt.

3 Kugeln der gegebenen Schicht und 3 Kugeln der darüberliegenden Schicht bilden ein Oktaeder, und genauso bilden 3 Kugeln der gegebenen Schicht (es sind aber nicht dieselben) mit 3 Kugeln der darunterliegenden Schicht ein Oktaeder. Da die beiden Schichten nicht übereinander liegen, liegen auch die Oktaeder nicht übereinander, sondern sind gegeneinander versetzt.

In Bild 36 sehen Sie diese Situation. Die gegebene Kugel ist nun schon an 2 Oktaedern beteiligt.

 

eine Kugel und ihre 6 Oktaederlücken

Bild 37 : Die gegebene Kugel ist insgesamt an 6 Oktaedern beteiligt.

Der dritte und letzte Schritt ist einfach. In den vorigen beiden Schritten hatten wir Oktaeder konstruiert, an denen die gegebene Kugel und 2 ihrer Nachbarn in der gleichen Schicht beteiligt waren. Die gegebene Kugel hat in der gleichen Schicht insgesamt 6 Nachbarn, also können wir die Schritte von eben noch zweimal wiederholen, und wir erhalten 4 weitere Oktaeder, an denen die gegebene Kugel beteiligt ist.

Die Anfangsfrage ist nun beantwortet. Jede Kugel ist an 6 Oktaedern beteiligt. Bild 37 zeigt sie.

 

Wir wissen aber noch nicht, wieviele Oktaederlücken es gibt. Das ist leicht herauszufinden. Betrachten wir dazu eine Gruppe aus n Kugeln. Da jede Kugel an 6 Oktaedern beteiligt ist, kann man 6n Oktaeder konstruieren. Nun müssen wir nur noch beachten, dass wir jeden Oktaeder 6 mal konstruiert haben, denn er hat ja 6 Kugeln, und bei jeder dieser Kugeln haben wir ihn konstruiert. Die Gesamtzahl der Oktaeder muss also durch 6 geteilt werden, und wir erhalten n Oktaeder.

Eine Gruppe aus n Kugeln hat n Oktaederlücken. Es gibt also genauso viele Oktaederlücken wie Kugeln (=Atome).

Sehen Sie sich in einer JSmol–Visualisierung die Konstruktion der Oktaederlücken an. Rufen Sie die JSmol–Visualisierung auf und ändern Sie Größe und Transparenz der Kugeln, so dass Ihnen die Szene übersichtlich erscheint. Blenden Sie die Oktaeder ein und wieder aus, und füllen Sie sie mit grünen Kugeln. Betrachten Sie die Szene aus vielen Richtungen.

Wo liegen die Oktaederlücken ?

Sehen Sie sich zuerst Bild 37 an. Es enthält (neben mehreren Atomen) 6 Oktaeder. In ihrem Innern sind die 6 Oktaederlücken, die das Atom umgeben. Im folgenden werden wir die Oktaederlücken durch grüne Kugeln darstellen, die jeweils im Schwerpunkt der Lücke liegen.

 

eine Oktaederlücke und ihre Nachbarn

Bild 38 : Eine grüne Kugel und ihre Nachbarn.

Sehen wir uns erst eine der Oktaederlücken an. Sie gehört zu dem magentafarbenen Oktaeder rechts unten, und sie hat 4 Nachbarn. Das heißt, 4 der anderen Oktaederlücken sind gleichweit von ihr entfernt, die fünfte ist weiter weg. Das ist leicht zu begründen. Der magentafarbene Oktaeder hat 4 Oktaeder als Nachbarn. Mit diesen hat er eine gemeinsame Kante. Nur der blaue Oktaeder ist weiter entfernt. Der magentafarbene und der blaue Oktaeder haben nur eine gemeinsame Ecke.

Diese erste magentafarbene Lücke ist mit ihren 4 Nachbarn durch grüne Linien verbunden (Bild 38). Was wird wohl für ein geometrischer Körper entstehen, wenn man alle Kugeln mit ihren Nachbarn verbindet ? Man sieht es noch nicht.

 

Verbindungen zwischen den Oktaederlücken

Bild 39 : Von den 2 gegenüberliegenden Kugeln gehen insgesamt 8 Verbindungslinien zu den jeweiligen Nachbarn aus.

Sehen wir uns als nächstes die Okatederlücke an, die der eben betrachteten gegenüber liegt. Sie gehört zu dem blauen Oktaeder, und natürlich hat sie auch 4 Nachbarn – nämlich alle außer dem magentafarbenen. Wir verbinden die Kugel in ihrem Innern mit den Kugeln im Innern der 4 Nachbaroktaeder durch grüne Linien (Bild 39).

 

Verbindungen zwischen den Oktaederlücken

Bild 40 : 12 grüne Linien bilden einen einfachen geometrischen Körper. Aber welchen ?

Natürlich haben nicht nur der magentafarbene und der blaue Oktaeder 4 Nachbarn, sondern alle. Wir vervollständigen das Bild, indem wir auch die Kugeln im Innern der anderen Oktaeder mit den jeweiligen Nachbarkugeln verbinden. Insgesamt haben wir nun 12 grüne Verbindungslinien. Bestimmt sehen Sie schon in Bild 40, welchen einfachen geometrischen Körper diese Linien bilden. Oder doch nicht ?

 

Die Oktaederlücken bilden einen Oktaeder

Bild 41 : Wenn man ihn aus der richtigen Richtung betrachtet, sieht der Oktaeder wie ein Oktaeder aus.

Also drehen wir die Szene ein wenig. Nun ist es klar. Die Mittelpunkte der Oktaederlücken bilden wieder einen Oktaeder (Bild 41).

 

Insgesamt können wir festhalten : Jede Kugel der kubisch–dichtesten Kugelpackung wird von 6 Oktaederlücken umgeben. Die Lücken umgeben die Kugel in Form eines Oktaeders. Alle Schwerpunkte der Oktaederlücken haben denselben Abstand von der gegebenen Kugel, nämlich das 1,4142–fache des Radius dieser Kugel. Die Berechnung dieser Zahl können Sie weiter unten nachlesen, in der mathematischen Beschreibung der Kugelpackung, in Abschnitt 7.2.3.9. Die Oktaederlücken sind also viel größer als die Tetraederlücken.

Sehen Sie sich in einer JSmol–Visualisierung den Oktaeder an, den die Schwerpunkte der Oktaederlücken rund um eine Kugel bilden. Rufen Sie die JSmol–Visualisierung auf und ändern Sie Größe und Transparenz der Kugeln, so dass Ihnen die Szene übersichtlich erscheint. Blenden Sie den Oktaeder ein und wieder aus. Wenn Sie wollen, können Sie auch die Oktaederlücken ein– und ausblenden, jedoch kann dies die Szene unübersichtlich machen. Betrachten Sie die Szene aus vielen Richtungen. Insbesondere „Richtung 5” zeigt den Oktaeder deutlich.

7.3.2.6. Vertreter

Kupfer

Bild 42 : Dieses Stück gediegenes Kupfer stammt aus Michigan/USA und ist knapp 6 cm groß. Es besteht aus unzähligen winzigen Kristallen, in denen die Atome in der kubisch–dichtesten Packung angeordnet sind.

In der kubisch–dichtesten Kugelpackung kristallisieren Edelgase und Metalle. Bei Normalbedingungen (T = 25°C, p = 1 bar) gehören dazu die unten Aufgezählten.

Ich habe die Liste aus dem englische Flagge PSE von Mark Winter (Lit. L–122) zusammengestellt. Dort finden Sie auch zu jedem Element Nachweise von Originalliteratur zur Kristallstruktur.

7.3.2.7. Elementarzelle und Atompositionen

Die Bilder in den vorigen Abschnitten haben Ihnen einen anschaulichen Eindruck von der kubisch–dichtesten Kugelpackung gegeben, und vielleicht können Sie sich nun diese Packung ganz leicht vor Ihrem geistigen Auge vorstellen, ihren Aufbau aus Kugeln, und den Tetraederlücken und Oktaederlücken dazwischen.

In den folgenden Unterabschnitten wird es um eine möglichst exakte Beschreibung der kubisch–dichtesten Kugelpackung gehen, entsprechend Kapitel 7.1.3. bis Kapitel 7.1.6. Diese Beschreibung erfolgt zwar mathematisch, aber immer graphisch unterstützt.

Als erstes werde ich die Elementarzelle vorstellen und die Atompositionen benennen (mehr zu diesen Begriffen in Kapitel 7.1.3).

Elementarzelle der kubisch dichtesten Packung

Bild 43 : Elementarzelle der kubisch–dichtesten Kugelpackung.

Wie sieht die Elementarzelle aus ?

Die Elementarzelle sieht aus wie in Bild 43. Sie sehen deutlich, dass die Elementarzelle ein Würfel ist. An jeder der 8 Würfelecken ist ein Atom. 4 weitere Atome liegen gut erkennbar auf den Mittelpunkten der Würfelfächen. 2 Atome scheinen frei im Raum zu schweben – sie liegen auf den Mittelpunkten der vorderen und der hinteren Würfelfläche.

Schon in Abschnitt 7.3.2.2. hatten Sie diese Elementarzelle kennen gelernt. Dort können Sie sie in den Bildern 15 und 16 sehen. Die Kugeln an den Würfelecken sind blau markiert, und die an den Flächenmittelpunkten mattgrün.

Wieviele Atome enthält die Elementarzelle ?

In Bild 43 sehen Sie, dass an jeder der 8 Ecken des Würfels ein Atom sitzt. Daraus ergibt sich, dass die Elementarzelle erst mal ein Atom enthält. 6 weitere Atome sind in den Mitten der Würfelflächen. Für die Elementarzelle ergeben sich 3 weitere Atome.

Eine Begründung für die beiden Folgerungen (ein bzw. 3 Atome) finden Sie in Kapitel 7.1.3.4.

Insgesamt enthält die Elementarzelle der kubisch–dichtesten Kugelpackung also 4 Atome.

Sehen Sie sich in einer JSmol–Visualisierung die Elementarzelle an.

Wie groß ist die Elementarzelle ?

Das kommt darauf an, wie groß die Kugeln sind, werden Sie jetzt vielleicht sagen. Und da haben Sie Recht.

Hier soll es aber nicht um die absolute Größe der Elementarzelle gehen (die man zum Beispiel in Picometern messen könnte), sondern um die Größe der Elementarzelle im Verhältnis zur Größe der Kugeln, aus denen sie aufgebaut ist. Dazu reicht es, die Kantenlänge a des Würfels zu kennen, denn die Gesamtgröße (das Volumen also) kann man daraus schnell zu a3 berechnen.

Im Folgenden werde ich den Radius der Kugeln r nennen.

Ein naiver Gedanke. – An 2 benachbarten Würfelecken liegt je eine Kugel mit dem Radius r. Und weil es ja eine dichteste Kugelpackung ist, liegen die Kugeln dicht an dicht. Der Abstand der beiden Ecken ist also das Doppelte des Kugelradius. Es muss gelten : a = 2 r.

Eine bessere Argumentation. – Schon beim Betrachten von Bild 43 kann der Gedanke entstehen, dass die Idee vom vorigen Absatz allzu naiv war. Der Abstand einer Kugel an einer Würfelecke zu einer Kugel in der Flächenmitte ist kleiner als der zur Nachbar–Eckkugel.

 

Demnächst bearbeite ich diesen Abschnitt weiter.

Es kann aber noch etwas dauern.

 

7.3.2.8. Tetraederlücken – Beschreibung mit Mathematik

Wie groß sind die Tetraederlücken ?

Es geht hier nicht darum, das Volumen des Raumes zwischen den 4 Kugeln, die die Lücke umgeben, mit allen seinen Ausbuchtungen und Verzweigungen zu berechnen. Vielmehr will man wissen, wie groß eine Kugel höchstens sein darf, um in eine Tetraederlücke zu passen. Grund dieses Interesses ist, dass sich von der kubisch–dichtesten Kugelpackung eine Menge anderer Kristallstrukturen ableiten, bei denen Tetraederlücken mit anderen Atomen gefüllt sind.

 

Tetraeder, durch eine Ebene halbiert

Bild 23_v : Ein Tetraeder, durch eine Ebene halbiert.

Zur Untersuchung der Größe der Tetraederlücken halbieren wir einen Tetraeder. Wir tun dies, indem wir eine Ebene so durch den Tetraeder legen, dass sie durch 2 Eckpunkte geht und 2 Seiten halbiert. Bild 23 links zeigt die Situation.

Die Ebene geht durch die beiden undurchsichtigen, kupferfarbenen Kugeln hinten und oben (es sind Ecken des Tetraeders) und durch die kleine rote Kugel in der Mitte des Tetraeders (sie füllt die Tetraederlücke aus). Mit den beiden anderen Ecken des Tetraeders, den durchsichtigen Kugeln vorn rechts und vorn links, hat die Ebene genau einen gemeinsamen Punkt. Sie ist Tangente an diese Kugeln.

Sehen Sie den durch eine Ebene halbierten Tetraeder in einer kleinen Jsmol–Visualisierung an.

 

Schnittebene durch einen Tetraeder

Bild 24_v : Schnittebene durch einen Tetraeder. Die Ebene geht durch 2 Ecken und den Schwerpunkt. Sie halbiert den Tetraeder.

Im nächsten Schritt sehen wir uns die Schnittebene an. Sie können sie in Bild 24 sehen. Die 2 blauen Kreise sind Schnitte durch die Kugeln der Kugelpackung. Der rote Kreis ist ein Schnitt durch eine Kugel, die die Tetraederlücke gerade ausfüllt. Wir führen einige Bezeichnungen ein und können schnell Aussagen über Stücke der Zeichnung machen.

  • rK : Radius der blauen Kugeln
  • rL : Radius der roten Kugel
  • AB : Die Strecke AB hat die Länge 2rK. Sie ist eine Kante des Tetraeders. Nenne die Länge dieser Strecke dAB. Es ist also dAB = 2rK.
  • AC und BC : Die Strecken AC und BC sind Seitenhalbierende der Tetraederflächen (denn wir haben die Schnittebene ja so gelegt, dass sie den Tetraeder halbiert). Ihre Länge brauchen wir nicht. Wichtig ist nur, dass jede Höhe des Tetraeders (er hat 4) ihren Fußpunkt auf der Seitenhalbierenden der gegenüberliegenden Fläche hat, und …
  • BH ist eine Höhe des Tetraeders. Ihre Länge sei dh. Eine Formelsammlung sagt uns, dass gilt : dh = sqrt(2/3) ∗ dAB. Es folgt dh = sqrt(2/3) ∗ 2 ∗ rK.

 

Nun sollten wir uns Gedanken über den Mittelpunkt M der roten Kugel machen. 2 Fragen stellen sich :

Hier sind die Antworten.

Die Berechnung von rL ist nun einfach. Wir nutzen aus, dass der Schwerpunkt M des Tetraeders die Höhe im Verhältnis 3:1 teilt. Für die Länge dBM der Strecke BM gilt also dBM = 3/4 ∗ dh. Es folgt dBM = 3/4 ∗ sqrt(2/3) ∗ 2 ∗ rK = 1,2247 ∗ rK. Andererseits gilt dBM = rK + rL. Aus den beiden vorigen Gleichungen erhält man 1,2247 ∗ rK = rK + rL und daraus rL = 0,2247 ∗ rK.

Damit ist die Frage nach der Größe der Tetraederlücke beantwortet. Besteht die kubisch–dichteste Kugelpackung aus Kugeln mit dem Radius r, so haben die tetraedrischen Lücken einen Radius von rL = 0,2247 ∗ r.

 

Demnächst bearbeite ich diesen Abschnitt weiter.

Es kann aber noch etwas dauern.

 

7.3.2.9. Oktaederlücken – Beschreibung mit Mathematik

Wie groß sind die Oktaederlücken ?

Wieder steht die Frage im Mittelpunkt, wie groß eine Kugel höchstens sein darf, um in eine Oktaederlücke zu passen. Grund dieses Interesses ist, dass sich von der hexagonal–dichtesten Kugelpackung eine Menge anderer Kristallstrukturen ableiten, bei denen Oktaederlücken mit anderen Atomen gefüllt sind.

 

Oktaeder, durch eine Ebene halbiert

Bild 36_v : Ein Oktaeder, durch eine Ebene halbiert.

Zur Untersuchung der Größe der Oktaederlücken halbieren wir einen Oktaeder. Es gibt nur eine Möglichkeit, einen Oktaeder symmetrisch zu halbieren. Wir legen dazu eine Ebene durch 4 Eckpunkte. Bild 36 zeigt die Situation.

Die Schnittebene halbiert 4 Kugeln. Es sind die Ecken des Oktaeders, und ihre Mittelpunkte bilden ein Quadrat. in Bild 36 kaum zu sehen ist die (grün gezeichnete) Kugel, die die Oktaederlücke ausfüllt.

Sehen Sie den durch eine Ebene halbierten Oktaeder in einer kleinen Jsmol–Visualisierung an.

 

Schnittebene durch einen Oktaeder

Bild 37_v : Schnittebene durch einen Oktaeder. Die Ebene geht durch 4 Ecken und den Schwerpunkt. Sie halbiert den Oktaeder.

Im nächsten Schritt sehen wir uns die Schnittebene an. Sie können sie in Bild 37 sehen. Die 4 blauen Kreise sind Schnitte durch die Kugeln der Kugelpackung. Der grüne Kreis ist ein Schnitt durch eine Kugel, die die Oktaederlücke gerade ausfüllt. Wir führen einige Bezeichnungen ein und können schnell Aussagen über Stücke der Zeichnung machen.

  • rK : Radius der blauen Kugeln
  • rL : Radius der grünen Kugel
  • AB : Die Strecke AB hat die Länge 2rK. Sie ist eine Kante des Oktaeders. Nenne die Länge dieser Strecke dAB. Es ist also dAB = 2rK.
  • BC, CD und AD : Da der Schnitt durch den Oktaeder ein Quadrat ist, haben diese Seite dieselbe Länge 2rK.
  • AM, BM, CM und DM : Alle diese Strecken vom Mittelpunkt M des Quadrats (und damit auch vom Mittelpunkt M des Oktaeders) zu seinen Ecken haben dieselbe Länge. Nenne sie dAM. Es ist dAM = rK + rL.

 

Die Berechnung von rL ist nun einfach. Betrachte dazu das Dreieck ABM. Nach dem Satz von Pythagoras gilt dAM2 + dAM2 = dAB2.
Es folgt (rK + rL)2 + (rK + rL)2 = (2rK)2.
Daraus folgt 2 rK2 + 4 rkrL + 2 rL2 = 4 rK2.
Weiter folgt 2 rL2 + 4 rkrL – 2 rK2 = 0
und rL2 + 2 rkrL – rK2 = 0.
Nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen folgt
rL = – rk ± sqrt(2 rK2).
Eine der beiden Lösungen ist negativ. Sie wird verworfen. Die andere lautet
rL = – rk + sqrt(2) ∗ rK = rK ∗ (sqrt(2)–1) = 0,4142 ∗ rK.

Damit ist die Frage nach der Größe der Oktaederlücke beantwortet. Besteht die kubisch–dichteste Kugelpackung aus Kugeln mit dem Radius r, so haben die oktaedrischen Lücken einen Radius von rL = 0,4142 ∗ r. Sie sind also wesentlich größer als die tetraedrischen Lücken.

 

Demnächst bearbeite ich diesen Abschnitt weiter.

Es kann aber noch etwas dauern.

 

7.3.2.10. Atomumgebungen und Nachbarn – Beschreibung mit Mathematik

 

Demnächst bearbeite ich diesen Abschnitt weiter.

Es kann aber noch etwas dauern.

 

7.3.2.11. Alle JSmol–Visualisierungen dieser Seite im Überblick

Infobereich

Alle Bilder dieser Seite : Lizenz CC–BY–SA–4.0. Bildnachweis und Lizenzinfo.
Text : Lizenz CC–BY–SA–4.0. Lizenzinfo.

 

 

Impressum        Datenschutzerklärung