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7.3.2. Die kubisch–dichteste Kugelpackung

Kleine Vorrede

Wenn Sie diese Seite mit der über die hexagonal–dichteste Kugelpackung vergleichen, werden Sie eine frappierende Ähnlichkeit feststellen. Das ist Absicht. Beide Kugelpackungen sind sehr ähnlich, aber ich verweise nicht von dieser auf die andere Seite und sage „Lesen Sie doch dort”, sondern stelle alle Aspekte der kubisch–dichtesten Packung ausführlich und im Zusammenhang dar, wie Sie es von mir gewohnt sind. Der copy–Befehl ist mein Freund. Natürlich gibt es auch Unterschiede zwischen den beiden Seiten, nämlich dort, wo es Unterschiede zwischen den beiden Packungen gibt. Finden Sie sie heraus.

Worum geht es ?

Es geht darum, wie Metalle und Edelgase kristallisieren. Wir benutzen dazu ein einfaches Modell. Die Atome sind in diesem Modell feste, starre und gleichgroße Kugeln. Sie können sie mit Tischtennisbällen oder den Kugeln eines Kugellagers vergleichen. In ein gegebenes Volumen sollen möglichst viele solcher Kugeln hineingepackt werden. Wie sind sie dann angeordnet, und welche Eigenschaften hat eine solche Anordnung von Kugeln ?

Diese Fragen werde ich zuerst anschaulich beantworten und dann mathematisch unterlegen.

Dazu ist der Abschnitt in Teile gegliedert.

Verstehen durch Ansehen

• Aufbau der Kugelpackung – gleich hier
• Der Name und der Würfel
• Nachbarn
• Tetraederlücken
• Oktaederlücken
• Vertreter

Beschreibung mit Mathematik

• Elementarzelle und Atompositionen
• Tetraederlücken
• Oktaederlücken
• Atomumgebungen und Nachbarn

Interaktives Erkunden

• Zusammenstellung aller 11 JSmol–Visualisierungen zur kubisch–dichtesten Kugelpackung

7.3.2.1. Aufbau der Kugelpackung

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sie können den Aufbau der kubisch–dichtesten Kugelpackung in 10 Schritten, entsprechend den Bildern im linken Teil dieser Seite, in einer JSmol–Visualisierung nachvollziehen.

7.3.2.2. Der Name und der Würfel

In vielen Schritten haben wir die kubisch–dichteste Kugelpackung aufgebaut, aber einen Würfel haben wir noch nicht gesehen. Wieso also heißt diese Packung kubisch ?

Tatsächlich ist in der Packung ein Würfel verborgen. Er ist nicht so einfach zu finden und freizulegen, und wir werden im Folgenden mehrere Schritte dazu benötigen. Aber dieser gut versteckte Würfel kann doch nicht der ganze Grund für den Namen sein. Ob da noch mehr dahintersteckt ?

Ja, klar. Dieser Würfel bildet die Elementarzelle der kubisch–dichtesten Kugelpackung. Und das ist nun wirklich Grund genug für den Namen.

• Mehr über diese Elementarzelle erfahren Sie in Kapitel 7.3.2.7.
• Mehr über Elementarzellen im Allgemeinen erfahren Sie in Kapitel 7.1.3.

Der Würfel wird freigelegt

 

 

 

Die Kubisch–flächenzentrierte Packung. – Wir werden die Elementarzelle in Kapitel 7.3.2.7. genauer besprechen. Aber schon jetzt kann man sagen : Sie besteht aus einem Würfel, an dessen 8 Ecken je eine Kugel ist, und in dessen Flächenmittelpunkten je eine Kugel ist. Ein solcher Würfel heißt flächenzentriert, und die kubisch–dichteste Kugelpackung heißt auch kubisch–flächenzentrierte Kugelpackung (engl. cubic face–centred).

 

Die kubisch–flächenzentrierte Kugelpackung ist dasselbe wie die kubisch–dichteste Kugelpackung.

Orientierung des Würfels. – Eine Frage ist noch offen. Wie ist die Orientierung des Würfels in den Kugelschichten ?

Bild 16 soll Ihnen einen, wenn auch sicher nicht perfekten, Eindruck von der räumlichen Beziehung geben. In den oberen beiden Schichten des Bildes sind je 3 Würfelecken. Darüber und darunter ist jeweils eine einzelne Kugel, die zum Würfel gehört. Bezogen auf den Würfel liegen diese beiden Kugeln in maximaler Entfernung voneinander, man könnte sagen, sie liegen gegenüber. Die Verbindungslinie zwischen ihnen ist also die Raumdiagonale des Würfels. Bezogen auf die Kugelschichten liegen sie, wenn man die Szene von der Seite betrachtet, genau übereinander.

Die Raumdiagonale des Würfels (der Elementarzelle) steht senkrecht auf den Kugelschichten.

Viermal dasselbe

 

Eine Visualisierung

Sie können das Freilegen des Würfels auch in einer JSmol–Visualisierung verfolgen. Zu Beginn sehen Sie 6 Schichten von Kugeln. Mit dem Knopf „Würfel freilegen” führen Sie die einzelnen, eben beschriebenen weiteren Schritte aus.

Können Sie den Würfel jetzt wirklich gut erkennen ? Oder doch nicht so richtig ? Dann ändern Sie doch die Atomgröße. Sie können dann viel besser in das Innere der Schichten hineinsehen. Und betrachten Sie ihn aus anderen Richtungen, zum Beispiel aus „Richtung 1”. Jetzt sehen Sie deutlich, dass er sich über 4 Schichten erstreckt. Eine Kugel liegt außerhalb aller Schichten. Sie gehört zu der obersten Schicht, die schon im ersten Schritt verschwunden ist. Die 3 mit dieser Kugel verbundenen Kugeln liegen in der nächsten Schicht, weitere 3 Kugeln in der folgenden, und eine letzte Kugel noch eine Schicht tiefer. In den Bildern 12 bis 16 ist diese Situation gezeigt.

 

Der zweite Grund

Es gibt übrigens noch einen zweiten Grund für den Namen.

7.3.2.3. Nachbarn

Oft möchte man wissen, wieviele Nachbarn eine Kugel in einer Kugelpackung hat. Unter dem Begriff Nachbar soll hier verstanden werden, wieviele Kugeln eine gegebene Kugel berührt.

Den ersten Teil der Antwort sehen Sie in Bild 18. Es ist Bild 1 ähnlich und zeigt wie dieses eine Schicht Kugeln der kubisch dichtesten Kugelpackung. Eine Kugel (ich nenne sie im folgenden die gegebene Kugel) ist rot markiert. Sie sehen sofort, dass in dieser Schicht 6 andere Kugeln die gegebene Kugel berühren. Wir haben also schon 6  Nachbarn gefunden.

Hat die gegebene Kugel noch mehr Nachbarn ? Und wo könnten sie liegen ?

 

Den zweiten Teil der Antwort sehen Sie in Bild 19. Ich habe die gegebene (rot gezeichnete) Kugel aus dem vorigen Bild von allen Nachbarn der gleichen Schicht getrennt und sie dann (als einzelne Kugel) auf die darunter liegende Schicht gelegt. Bild 3 zeigt, was dabei passiert. Die Kugel kommt in einer Mulde aus 3 Kugeln zu liegen. Die gegebene Kugel berührt also 3 Kugeln aus der Schicht darunter. Wir haben 3 weitere Nachbarn gefunden, insgesamt sind es nun 9 Nachbarn.

Weitere Nachbarn sollte man in der Schicht suchen, die über der gegebenen Kugel liegt. Bild 20 zeigt, was man findet. 3 Kugeln (transparent gezeichnet und doch die gegebene Kugel fast verdeckend) liegen in Mulden, die an die gegebene Kugel angrenzen. Bild 20 ist somit ähnlich zu Bild 4. Die 3 transparenten Kugeln berühren die gegebene Kugel. Wir haben 3 weitere Nachbarn gefunden, insgesamt sind es nun 12 Nachbarn.

Fazit. – In der kubisch–dichtesten Kugelpackung hat jede Kugel 12 Nachbarn. 6 sind in der gleichen Schicht wie die gegebene Kugel, 3 in der Schicht darüber, und 3 in der Schicht darunter.

Ein Unterschied

Bis hierher waren die Abschnitte über die Nachbarn der beiden dichtesten Kugelpackungen sehr ähnlich.

Doch gibt es auch Unterschiede ? Ja.

Die Bilder 19 und  20 zeigen die Ebenen unter und über der gegebenen Kugel in der kubisch–dichtesten Packung. Die Nachbarkugeln der gegebenen Kugel sind in diesen beiden Ebenen unterschiedlich angeordnet, einmal links oberhalb, rechts oberhalb und unterhalb der gegebenen Kugel, dann links unterhalb, rechts unterhalb und oberhalb. Der Grund ist die Schichtenfolge ABC (vgl. dazu Bild 11) in der kubisch–dichtesten Packung. Die Schichtenfolge wiederholt sich erst nach 3 Schichten, und näher beieinander liegende Schichten (wie die beiden betrachteten) haben unterschiedliche Anordnung.

Den Gegensatz dazu bildet die hexagonal–dichteste Kugelpackung. Ihre Schichtenfolge ist AB. Die Schicht über der gegebenen Kugel und die unter ihr gehören also zu gleich benannten Schichten (zum Beispiel A). Daraus folgt, dass die Kugeln dieser beiden Schichten genau übereinander liegen, und das ist es, was Sie in den Bildern 11 und 12 in Kapitel 7.3.1.2. (Nachbarn in der hexagonal–dichtesten Kugelpackung) sehen. In Bild 11 dort sind 3 Kugeln, die die gegebene Kugel berühren. Sie liegen links oberhalb, rechts oberhalb und unterhalb von ihr. Die 3 (transparenten) Kugeln in Bild 12 dort, die die gegebene Kugel berühren, liegen, relativ zu ihr, genauso.

7.3.2.4. Tetraederlücken

Lücken zwischen den Atomen. – Sie wissen jetzt, wie die Atome gepackt sind. Aber was ist zwischen den Atomen ? Nichts ? Naja, darüber kann man diskutieren. In Kapitel 3.7.9. finden Sie die Diskussion, soweit sie in diesem Projekt geführt werden kann. Sicher kann man sagen : Dort, zwischen den Atomen, ist Platz. Man nennt den Raum zwischen den Atomen eine Lücke. In der kubisch–dichtesten Kugelpackung gibt es 2 Arten von Lücken, nämlich die Tetraederlücken und die Oktaederlücken.

Sind Lücken wichtig ? – Würde ich sonst darüber schreiben ? Auf dieser Seite geht es darum, Kugeln einer Sorte möglichst dicht zu packen. Da sind Lücken weniger wichtig. Später wird es um die Kristallstrukturen von Verbindungen gehen. Dort werden Kugeln mehrerer Sorten (zum Beispiel positiv und negativ geladene Ionen) gepackt. Um solche Strukturen zu verstehen, ist es notwendig, Zahl, Lage und Größe der Lücken zu verstehen.

Mehr über Strukturen, die durch das Füllen der Lücken in dichtesten Kugelpackungen entstehen, erfahren Sie in Kapitel 7.4. (Ionenkristalle), in Kapitel 7.5. (Fehlordnung und verwandte Phänomene), in Kapitel 7.6. (Legierungen und Co – demnächst) und in Kapitel 7.10. (Vielfalt der Kristalle).

Was ist eine Tetraederlücke ?

In Bild 3 auf dieser Seite (es ging um den Aufbau der zweiten Kugelschicht) haben Sie gesehen, dass in einer Ebene Kugeln liegen, und dass in die Mulde, die 3 solcher Kugeln bilden, eine vierte gelegt wird. Aus der Mulde ist so ein räumliches Gebiet geworden, dass von 4 Kugeln begrenzt wird. Es ist also eine Lücke.

 

 

Wie viele Tetraederlücken gibt es ?

Dazu werden wir untersuchen, zu wievielen Tetraedern (und damit auch Tetraederlücken) eine gegebene Kugel gehört, das heißt, an wievielen Tetraedern sie beteiligt ist. Diese Kugel ist auf den Bildern der linken Spalte immer undurchsichtig und dunkelblau.

 

 

 

 

 

Wir wissen aber noch nicht, wieviele Tetraederlücken es gibt. Das ist aber leicht herauszufinden. Betrachten wir dazu eine Gruppe aus n Kugeln. Da jede Kugel an 8 Tetraedern beteiligt ist, kann man 8n Tetraeder konstruieren. Nun müssen wir nur noch beachten, dass wir jeden Tetraeder 4 mal konstruiert haben, denn er hat ja 4 Kugeln, und bei jeder dieser Kugeln haben wir ihn konstruiert. Die Gesamtzahl der Tetraeder muss also durch 4 geteilt werden, und wir erhalten 2n Tetraeder.

Eine Gruppe aus n Kugeln hat 2n Tetraederlücken. Es gibt also doppelt so viele Tetraederlücken wie Kugeln (=Atome).

Sehen Sie sich in einer JSmol–Visualisierung die Konstruktion der Tetraederlücken an. Rufen Sie die Jsmol–Visualisierung auf und ändern Sie Größe und Transparenz der Kugeln, so dass Ihnen die Szene übersichtlich erscheint. Blenden Sie die Tetraeder ein und wieder aus, und füllen Sie sie mit kleinen roten Kugeln. Betrachten Sie die Szene aus vielen Richtungen.

Wo liegen die Tetraederlücken ?

Es geht in diesem Abschnitt um die Frage, wie die Tetraederlücken in Bezug auf ein gegebenes Atom angeordnet sind. Naja, sie liegen drumherum. Kann man Genaueres sagen, wie sie um ein Atom herum angeordnet sind ? Ja, natürlich kann man das.

Sehen Sie sich dazu Bild 26 an. Es enthält (neben dem gegebenen Atom und seinen Nachbarn) 8 Tetraeder. In ihrem Innern sind die 8 Tetraederlücken, die das Atom umgeben. Im folgenden werden wir die Tetraederlücken durch kleine, rote Kugeln darstellen, die jeweils im Schwerpunkt der Lücke liegen.

 

 

 

 

 

 

Insgesamt können wir festhalten : Jede Kugel der kubisch–dichtesten Kugelpackung wird von 8 Tetraederlücken umgeben. Die Lücken umgeben die Kugel in Form eines Würfels. Dies ist (im Gegensatz zur hexagonal–dichtesten Kugelpackung) ein ziemlich symmetrischer Körper, und es ist leicht zu sehen, dass alle Schwerpunkte der Tetraederlücken (also alle roten Kugeln) denselben Abstand von der blauen Mittelkugel haben, nämlich das 1,2247–fache des Radius dieser Kugel. Die Berechnung dieser Zahl können Sie weiter unten nachlesen, in der mathematischen Beschreibung der Kugelpackung, in Abschnitt 7.2.3.8.

Sehen Sie sich in einer JSmol–Visualisierung den Würfel an, den die Schwerpunkte der Tetraederlücken rund um eine Kugel bilden. Rufen Sie die JSmol–Visualisierung auf und ändern Sie Größe und Transparenz der Kugeln, so dass Ihnen die Szene übersichtlich erscheint. Blenden Sie den Würfel in mehreren Schritten ein und wieder aus. Wenn Sie wollen, können Sie auch die Tetraeder ein– und ausblenden, jedoch kann dies die Szene unübersichtlich machen. Betrachten Sie die Szene aus vielen Richtungen. Aus „Richtung 1” sehen Sie den Würfel aus einer gewohnten Richtung.

7.3.2.5. Oktaederlücken

Die Besprechung der Oktaederlücken erfolgt in Analogie zu den Tetraederlücken. Sie werden hier wie dort dieselben Argumentationslinien finden. Ich werde aber nicht auf den Abschnitt über die Tetraederlücken verweisen und einfach sagen „Sehen Sie doch dort nach, wie die Zusammenhänge sind”, sondern auch die Oktaederlücken in der gewohnten Art behandeln, und mich damit zwangsweise öfter wiederholen.

Wie die Tetraederlücken sind auch die Oktaederlücken Lücken zwischen den Atomen zweier Schichten. Da das Aufeinanderlegen von 2 Atomschichten bei der hexagonal–dichtesten und der kubisch–dichtesten Kugelpackung identisch ist (Unterschiede finden sich erst in der dritten Schicht), ist dieser Abschnitt dem analogen Abschnitt der hexagonal–dichtesten Kugelpackung identisch.

Was ist eine Oktaederlücke ?

 

 

 

 

 

Jede weiße Markierung ist ein Gebiet zwischen Atomen. Sie ist von 6 Atomen oktaederförmig umgeben. Daher nennt man sie eine Oktaederlücke. Sehen Sie sich die Oktaederlücken in einer JSmol–Visualisierung an. Bauen Sie die Oktaederlücken wie in der Beschreibung dieses Abschnitts schrittweise auf. Betrachten Sie die Szene aus verschiedenen Richtungen.

Wie viele Oktaederlücken gibt es ?

Dazu werden wir untersuchen, zu wievielen Oktaedern (und damit auch Oktaederlücken) eine gegebene Kugel gehört, das heißt, an wievielen Oktaedern sie beteiligt ist. Diese Kugel ist auf den Bildern der linken Spalte immer undurchsichtig und dunkelblau.

 

 

 

 

Wir wissen aber noch nicht, wieviele Oktaederlücken es gibt. Das ist leicht herauszufinden. Betrachten wir dazu eine Gruppe aus n Kugeln. Da jede Kugel an 6 Oktaedern beteiligt ist, kann man 6n Oktaeder konstruieren. Nun müssen wir nur noch beachten, dass wir jeden Oktaeder 6 mal konstruiert haben, denn er hat ja 6 Kugeln, und bei jeder dieser Kugeln haben wir ihn konstruiert. Die Gesamtzahl der Oktaeder muss also durch 6 geteilt werden, und wir erhalten n Oktaeder.

Eine Gruppe aus n Kugeln hat n Oktaederlücken. Es gibt also genauso viele Oktaederlücken wie Kugeln (=Atome).

Sehen Sie sich in einer JSmol–Visualisierung die Konstruktion der Oktaederlücken an. Rufen Sie die JSmol–Visualisierung auf und ändern Sie Größe und Transparenz der Kugeln, so dass Ihnen die Szene übersichtlich erscheint. Blenden Sie die Oktaeder ein und wieder aus, und füllen Sie sie mit grünen Kugeln. Betrachten Sie die Szene aus vielen Richtungen.

• In Richtung 2 betrachten Sie die Szene von schräg. Sie sehen alle 6 Oktaeder „aufrecht stehend”, so wie man Oktaeder aus Büchern oder Formelsammlungen kennt.
• In Richtung 1 und Richtung 3 sehen Sie die Szene von der Seite, und gekippt. Die Oktaeder sind leicht zu erkennen.
• Auch in Richtung 4 sehen Sie die Szene von der Seite, ähnlich den Bildern dieses Abschnitts.

Wo liegen die Oktaederlücken ?

Sehen Sie sich zuerst Bild 37 an. Es enthält (neben mehreren Atomen) 6 Oktaeder. In ihrem Innern sind die 6 Oktaederlücken, die das Atom umgeben. Im folgenden werden wir die Oktaederlücken durch grüne Kugeln darstellen, die jeweils im Schwerpunkt der Lücke liegen.

 

 

 

 

 

Insgesamt können wir festhalten : Jede Kugel der kubisch–dichtesten Kugelpackung wird von 6 Oktaederlücken umgeben. Die Lücken umgeben die Kugel in Form eines Oktaeders. Alle Schwerpunkte der Oktaederlücken haben denselben Abstand von der gegebenen Kugel, nämlich das 1,4142–fache des Radius dieser Kugel. Die Berechnung dieser Zahl können Sie weiter unten nachlesen, in der mathematischen Beschreibung der Kugelpackung, in Abschnitt 7.2.3.9. Die Oktaederlücken sind also viel größer als die Tetraederlücken.

Sehen Sie sich in einer JSmol–Visualisierung den Oktaeder an, den die Schwerpunkte der Oktaederlücken rund um eine Kugel bilden. Rufen Sie die JSmol–Visualisierung auf und ändern Sie Größe und Transparenz der Kugeln, so dass Ihnen die Szene übersichtlich erscheint. Blenden Sie den Oktaeder ein und wieder aus. Wenn Sie wollen, können Sie auch die Oktaederlücken ein– und ausblenden, jedoch kann dies die Szene unübersichtlich machen. Betrachten Sie die Szene aus vielen Richtungen. Insbesondere „Richtung 5” zeigt den Oktaeder deutlich.

7.3.2.6. Vertreter

In der kubisch–dichtesten Kugelpackung kristallisieren Edelgase und Metalle. Bei Normalbedingungen (T = 25°C, p = 1 bar) gehören dazu die unten Aufgezählten.

• 2. Hauptgruppe (Gruppe 2): Calcium, Strontium
• 3. Nebengruppe (Gruppe 3): Actinium
• 8. Nebengruppe (Gruppen 8, 9 und 10): Nickel, Rhodium, Palladium, Iridium, Platin
• 1. Nebengruppe (Gruppe 11): Kupfer, Silber, Gold
• 3. Hauptgruppe (Gruppe 13): Aluminium
• 4. Hauptgruppe (Gruppe 14): Blei
• 8. Hauptgruppe (Gruppe 18): Helium, Neon, Argon, Krypton, Xenon
• Lanthaniden : Ytterbium
• Actiniden : Thorium

Ich habe die Liste aus dem PSE von Mark Winter (Lit. L–122) zusammengestellt. Dort finden Sie auch zu jedem Element Nachweise von Originalliteratur zur Kristallstruktur.

7.3.2.7. Elementarzelle und Atompositionen

Die Bilder in den vorigen Abschnitten haben Ihnen einen anschaulichen Eindruck von der kubisch–dichtesten Kugelpackung gegeben, und vielleicht können Sie sich nun diese Packung ganz leicht vor Ihrem geistigen Auge vorstellen, ihren Aufbau aus Kugeln, und den Tetraederlücken und Oktaederlücken dazwischen.

In den folgenden Unterabschnitten wird es um eine möglichst exakte Beschreibung der kubisch–dichtesten Kugelpackung gehen, entsprechend Kapitel 7.1.3. bis Kapitel 7.1.6. Diese Beschreibung erfolgt zwar mathematisch, aber immer graphisch unterstützt.

Als erstes werde ich die Elementarzelle vorstellen und die Atompositionen benennen (mehr zu diesen Begriffen in Kapitel 7.1.3).

Wie sieht die Elementarzelle aus ?

Die Elementarzelle sieht aus wie in Bild 43. Sie sehen deutlich, dass die Elementarzelle ein Würfel ist. An jeder der 8 Würfelecken ist ein Atom. 4 weitere Atome liegen gut erkennbar auf den Mittelpunkten der Würfelfächen. 2 Atome scheinen frei im Raum zu schweben – sie liegen auf den Mittelpunkten der vorderen und der hinteren Würfelfläche.

Schon in Abschnitt 7.3.2.2. hatten Sie diese Elementarzelle kennen gelernt. Dort können Sie sie in den Bildern 15 und 16 sehen. Die Kugeln an den Würfelecken sind blau markiert, und die an den Flächenmittelpunkten mattgrün.

Wieviele Atome enthält die Elementarzelle ?

In Bild 43 sehen Sie, dass an jeder der 8 Ecken des Würfels ein Atom sitzt. Daraus ergibt sich, dass die Elementarzelle erst mal ein Atom enthält. 6 weitere Atome sind in den Mitten der Würfelflächen. Für die Elementarzelle ergeben sich 3 weitere Atome.

Eine Begründung für die beiden Folgerungen (ein bzw. 3 Atome) finden Sie in Kapitel 7.1.3.4.

Insgesamt enthält die Elementarzelle der kubisch–dichtesten Kugelpackung also 4 Atome.

Sehen Sie sich in einer JSmol–Visualisierung die Elementarzelle an.

Wie groß ist die Elementarzelle ?

Das kommt darauf an, wie groß die Kugeln sind, werden Sie jetzt vielleicht sagen. Und da haben Sie Recht.

Hier soll es aber nicht um die absolute Größe der Elementarzelle gehen (die man zum Beispiel in Picometern messen könnte), sondern um die Größe der Elementarzelle im Verhältnis zur Größe der Kugeln, aus denen sie aufgebaut ist. Dazu reicht es, die Kantenlänge a des Würfels zu kennen, denn die Gesamtgröße (das Volumen also) kann man daraus schnell zu a³ berechnen.

Im Folgenden werde ich den Radius der Kugeln r nennen.

Ein naiver Gedanke. – An 2 benachbarten Würfelecken liegt je eine Kugel mit dem Radius r. Und weil es ja eine dichteste Kugelpackung ist, liegen die Kugeln dicht an dicht. Der Abstand der beiden Ecken ist also das Doppelte des Kugelradius. Es muss gelten : a = 2 r.

Eine bessere Argumentation. – Schon beim Betrachten von Bild 43 kann der Gedanke entstehen, dass die Idee vom vorigen Absatz allzu naiv war. Der Abstand einer Kugel an einer Würfelecke zu einer Kugel in der Flächenmitte ist kleiner als der zur Nachbar–Eckkugel.

Um nun Nägel mit Köpfen machen zu können, sehen wir uns Bild 44 an.

Es zeigt dieselbe Elementarzelle wie Bild 43, aber mit einigen Unterschieden.

• Sie sehen fast in Richtung einer Raumdiagonale auf die Elementarzelle. Dadurch ist eine der Ecken vorn im Blickfeld.
• Die Kugeln haben die volle Größe. In Bild 43 und fast allen vorigen Bildern waren sie verkleinert, um eine bessere Übersicht zu gewähren. Durch die volle Größe berühren sich auf dem Bild Kugeln, die sich auch in der Kugelpackung selbst (die wir uns als aus festen, starren Kugeln zusammengesetzt vorstellen) berühren.
• Die Kugel, die in Blickrichtung am nächsten („vorn”) ist, habe ich fast völlig durchsichtig gemacht, damit sie nichts verdeckt.
• Und das Wichtigste : 6 Kugeln habe ich hervorgehoben, indem ich sie undurchsichtig gemacht habe.

3 der 6 Kugeln liegen auf Würfelecken, die anderen 3 in der Mitte von Würfelflächen. Und man sieht schnell, dass jede der 6 Kugeln 2 andere berührt. Es sieht so aus, als ob die Kugeln hier wirklich dicht an dicht liegen. Vergleichen Sie das Bild mit Bild 16, finden Sie die 6 Kugeln gleich wieder. Es sind 3 blaue und 3 hellgrüne, die alle in einer Schicht liegen. Die undurchsichtigen Kugeln sind also ein Ausschnitt aus einer Kugelschicht. Es sieht nicht nur so aus, dass die Kugeln dicht nebeneinander liegen, sie tun es tatsächlich (→ Fußnote 1).

Nun ist es leicht, die Größe der Elementarzelle zu bestimmen.

Die Grundidee ist, dass auf einer Flächendiagonalen 3 Kugeln liegen.

Hat der Würfel die Kantenlänge a, hat die Flächendiagonale die Länge d = sqrt(2) a. Andererseits hat die Flächendiagonale eine Länge von 4 Kugelradien r. Auf der Diagonalen liegen 2 von den Eckkugeln stammende Radien, dazu der Durchmesser (doppelter Radius) der Kugel in der Mitte.

Also gilt

Daraus folgt

Damit können wir auch das Volumen der Elementarzelle berechnen.

Es gilt

Die Raumerfüllung. – In der Elementarzelle sind 4 Kugeln. Der Radius einer Kugel ist r, ihr Volumen ist V = 4/3 π r³ ≈ 4,189 r³. 4 Kugeln haben also ein Volumen von etwa 16,76 r³.

Für die Raumerfüllung R der Kugeln in der kubisch–dichtesten Kugelpackung ergibt sich

Ganz nebenbei haben wir den bekannten Wert für die Raumerfüllung hergeleitet. Die Kugeln nehmen 74,05 Prozent des vorhandenen Raumes ein.

Atompositionen – anschaulich

Die Rolle der Kristallkoordinaten. – Wenn man Kristallkoordinaten benutzt, wie ich sie in Kapitel 7.1.3.3. beschrieben habe, ist es leicht, die Positionen der Atome anzugeben. Falls Ihnen dieses Hilfsmittel vertraut ist, können Sie einen Absatz überspringen und dann weiterlesen. Andernfalls sehen Sie sich Bild 45 an. Es ist Bild 43 ähnlich, jedoch habe ich dort die Koordinatenachsen eingezeichnet und die Koordinaten einiger Atome angegeben.

Sehen Sie das Koordinatensystem der Elementarzelle in einer JSmol–Visualisierung an.

Die Einheiten auf allen 3 Achsen sind gleich groß. Das erstaunt niemanden, denn die Elementarzelle ist ein Würfel, und alle seine Kanten haben die gleiche Länge. Alle 3 Achsen stehen senkrecht aufeinander, denn auch die Würfelkanten tun das.

Das Koordinatensystem der kubisch–dichtesten Kugelpackung ist also das, das Sie schon aus der Schule kennen. Dort nennt man es gern kartesisches Koordinatensystem.

Das erste Atom. – Die Position eines Atoms der Elementarzelle ist nun klar. Es ist im Ursprung, hat also die Koordinaten (0/0/0).

Die anderen 7 Atome an den Ecken der Elementarzelle gehören formal zu anderen, benachbarten Elementarzellen (mehr dazu in Kapitel 7.1.3.4). Ihre Koordinaten sind (0/0/1), (0/1/0), (0/1/1), (1/0/0), (1/0/1), (1/1/0) und (1/1/1).

Die anderen Atome. – Die Elementarzelle enthält 4 Atome. Welche Positionen nehmen die anderen 3 ein ?

Es ist schon oft gesagt worden. Sie liegen in der Mitte der 6 Würfelflächen. Sehen wir uns zuerst dasjenige an, dass in der Mitte der (im Bild) vorderen Fläche liegt. Die a– und b–Koordinate sind jeweils 0,5, und die c–Koordinate ist 0. Auch bei allen anderen Atomen in den Flächenmitten sind 2 Koordinaten 0,5, und die dritte beträgt 0.

Die anderen 3 Atome der Elementarzelle haben die Koordinaten ( 0,5 / 0,5 / 0 ), ( 0,5 / 0 / 0,5 ) und ( 0 / 0,5 / 0,5 ).

Vielleicht sagen Sie jetzt, da habe ich etwas übersehen, denn es gibt auch Atome (auf der rechten, oberen und hinteren Fläche), bei denen eine Koordinate 1 ist. Nun ja, diese Atome sind im Bild der Elementarzelle zu sehen, aber sie gehören formal zu anderen, benachbarten Elementarzellen (mehr dazu in Kapitel 7.1.3.4).

Die 3 Atome, die in Bild 45 auf Flächenmitten zu sehen sind, aber zu Nachbarzellen gehören, haben die Koordinaten ( 0,5 / 0,5 / 1 ), ( 0,5 / 1 / 0,5 ) und ( 1 / 0,5 / 0,5 ).

Elementarzelle und Atompositionen – formal

Zum Schluss gebe ich (in Tabelle 1) die Beschreibung der Elementarzelle und der Atomposition an, so wie es in Kapitel 7.1.3.5. beschrieben ist.

Die Beschreibung erfolgt am Beispiel von Kupfer, das oft als Prototyp der kubisch–dichtesten Kugelpackung angesehen wird.

Tabelle 1 : Beschreibung der Elementarzelle von Kupfer
Mindestangaben in der Literatur		→	Was sie daraus ermitteln können
Raumgruppe	Nr. 225	→	Die Elementarzelle ist kubisch. a = b = c α = β = γ = 90°
Parameter der Elementarzelle	a = 361,46 pm	→	b = c = 361,46 pm
Wyckoff–Position Cu	4a : ( 0 / 0 / 0 ) 4a : ( 0 / 1/2 / 1/2 ) 4a : ( 1/2 / 0 / 1/2 ) 4a : ( 1/2 / 1/2 / 0 )	→	nichts weiter, alle Angaben vorhanden

Tabelle 1 : Beschreibung der Elementarzelle von Kupfer als Prototyp der kubisch–dichtesten Kugelpackung

 

7.3.2.8. Tetraederlücken – Beschreibung mit Mathematik

Wie groß sind die Tetraederlücken ?

Es geht hier nicht darum, das Volumen des Raumes zwischen den 4 Kugeln, die die Lücke umgeben, mit allen seinen Ausbuchtungen und Verzweigungen zu berechnen. Vielmehr will man wissen, wie groß eine Kugel höchstens sein darf, um in eine Tetraederlücke zu passen. Grund dieses Interesses ist, dass sich von der kubisch–dichtesten Kugelpackung eine Menge anderer Kristallstrukturen ableiten, bei denen Tetraederlücken mit anderen Atomen gefüllt sind.

• Mehr über das Befüllen von Tetraederlücken erfahren Sie in Kapitel 7.4.1. (Binäre Kristallstrukturen).
• Mehr über die dabei entstehenden Kristallstrukturen erfahren Sie in Kapitel 7.4.1.4. (Tabelle der binären Strukturtypen).

 

 

 

Nun sollten wir uns Gedanken über den Mittelpunkt M der roten Kugel machen. 2 Fragen stellen sich :

• Warum ist die Kugel so klein ? Rechts unten auf der Zeichnung in Bild 47 ist doch noch viel Platz. Warum breitet sie sich nicht dorthin aus ?
• Wo liegt M im Tetraeder ?

Hier sind die Antworten.

• Vom Punkt C aus gesehen, liegen vor und hinter der Bildschirmebene noch 2 Kugeln, die Ecken des Tetraeders sind. In Bild 46 sehen Sie das deutlich, gemeint sind die beiden durchsichtigen Kugeln. Es ist zwar in der Bildschirmebene rechts unten Platz, nicht aber im Raum. Die rote Kugel kann nicht größer sein.
• M ist von allen Eckpunkten des Tetraeders gleichweit entfernt. Man nennt den M den Schwerpunkt des Tetraeders.

Die Berechnung von r_L ist nun einfach. Wir nutzen aus, dass der Schwerpunkt M des Tetraeders die Höhe im Verhältnis 3:1 teilt. Für die Länge d_BM der Strecke BM gilt also d_BM = 3/4 ∗ d_h. Es folgt d_BM = 3/4 ∗ sqrt(2/3) ∗ 2 ∗ r_K = 1,2247 ∗ r_K. Andererseits gilt d_BM = r_K + r_L. Aus den beiden vorigen Gleichungen erhält man 1,2247 ∗ r_K = r_K + r_L und daraus r_L = 0,2247 ∗ r_K.

Damit ist die Frage nach der Größe der Tetraederlücke beantwortet. Besteht die kubisch–dichteste Kugelpackung aus Kugeln mit dem Radius r, so haben die tetraedrischen Lücken einen Radius von r_L = 0,2247 ∗ r.

Positionen und Ausrichtung der Tetraederlücken

Position. – Wo liegen die Tetraederlücken ? Und wieviele sind es eigentlich ? Haben Sie auch keinen Plan ? Ich auch erst mal nicht. In einer solchen Situation fange ich gern mit dem an, was ich sicher weiß.

In der Elementarzelle sind 4 Atome. In Kapitel 7.3.2.4. haben Sie erfahren, dass es pro Atom 2 Tetraederlücken gibt. In der Elementarzelle sind also 8 Tetraederlücken. – Acht ? – Ja, Acht. Und der Elementarzellenwürfel hat 8 Ecken, und in jeder sitzt ein Atom. Nehmen wir also ein Eckatom (zum Beispiel das im Ursprung) und sagen uns, bestimmt gehört es zu einer Tetraederlücke.

Der erste Tetraeder. – Nun suchen wir einen Tetraeder, der den Ursprung enthält. Ein Tetraeder hat 4 Ecken, die alle gleichweit voneinander entfernt sind. Wir brauchen also zuerst 3 Atome, die gleichweit vom Ursprung entfernt sind. Es sind 3 der Atome auf den Flächenmitten, und zwar die auf den an den Ursprung angrenzenden Flächen (also vorn, unten und links). Ihr Abstand zum Ursprung beträgt jeweils eine halbe Flächendiagonale. Bild 48 zeigt den Tetraeder. Die eben genannten Kanten sind rot markiert.

Die 3 Atome auf den Flächenmitten müssen aber auch untereinander den Abstand „halbe Flächendiagonale” haben. Sehen Sie sich den Würfel an, und Sie erkennen, dass wir Glück gehabt haben. Die blauen Tetraederkanten in Bild 48 sind parallel zu einer der Würfelflächen (der vorderen, unteren und linken). Und alle Abstände zwischen den Tetraederecken betragen eine halbe Flächendiagonale. Die Kanten bilden wirklich einen Tetraeder.

Der Tetraeder ist da, aber wo ist die Tetraederlücke ? Oder anders gefragt, wo ist die Stelle, an der ein Atom oder eine Kugel liegt, das die Tetraederlücke besetzt ? Sie ist im Schwerpunkt des Tetraeders. Ähm, und wo ist der jetzt ? Dazu brauchen wir eine Formelsammlung. Die sagt uns, dass die Koordinaten des Schwerpunkts der Mittelwert der Eckpunktkoordinaten sind.

• Die Eckpunkte des Tetraeders sind ( 0 / 0 / 0 ), ( 0 / 0,5 / 0,5 ), ( 0,5 / 0 / 0,5 ) und ( 0,5 / 0,5 / 0 ).
• Die x–Koordinate des Schwerpunkts ist x_s = ( 0 + 0 + 0,5 + 0,5 ) / 4 = 0,25.
• Auch die anderen beiden Koordinaten sind y_s = 0,25 und zx_s = 0,25.

Die erste Tetraederlücke hat die Koordinaten ( 0,25 / 0,25 / 0,25 ).

Kann man sich die Lage dieser Tetraederlücke anschaulich vorstellen ? Ja. Denken Sie sich den Elementarzellenwürfel (er hat die Kantenlänge 1) in 8 kleine Würfel geteilt. Diese Achtelwürfel haben die Kantenlänge 0,5. Der Mittelpunkt des ersten Achtelwürfels ist also ( 0,25 / 0,25 / 0,25 ), und das ist die Position der Tetraederlücke.

Die übrigen Tetraeder. – Dieselben Gedankengänge können Sie noch 7 mal durchführen, für die anderen 7 Würfelecken. Es passiert immer dasselbe, und in den Bildern 49 und 50 können Sie es (ein Stück weit) sehen. Jeder der 7 Tetraeder hat eine Ecke an einer Würfelecke, er besetzt ein Achtel der Elementarzelle, und sein Mittelpunkt (Schwerpunkt) ist im Zentrum eines Achtelwürfels.

Die Koordinaten aller 8 Tetraederlücken in der Elementarzelle sind : ( 0,25 / 0,25 / 0,25 ), ( 0,25 / 0,25 / 0,75 ), ( 0,25 / 0,75 / 0,25 ), ( 0,25 / 0,75 / 0,75 ), ( 0,75 / 0,25 / 0,25 ), ( 0,75 / 0,25 / 0,75 ), ( 0,75 / 0,75 / 0,25 ) und ( 0,75 / 0,75 / 0,75 ).

Die Tetraederlücken der kubisch–dichtesten Kugelpackung liegen in den Mittelpunkten der Achtelwürfel.

 

Ausrichtung. – In den Bildern 49 und 50 sind einige Dinge deutlich zu sehen.

Alle Tetraeder (in deren Schwerpunkt die Tetraederlücke ist) haben eine Ecke in einer Würfelecke, und sie sind ins Innere der Elementarzelle gerichtet.

Die Tetraeder sind nicht irgendwie ins Innere der Elementarzelle gerichtet, sondern in Richtung einer Raumdiagonale des Würfels. Genau : Die Tetraederfläche, die nicht die Würfelecke enthält, steht senkrecht auf einer Raumdiagonalen.

Und noch etwas ist ganz schnell klar. Weil der Würfel 4 Raumdiagonalen hat, sind die Tetraeder unterschiedlich ausgerichtet und bieten ein recht chaotisches Bild.

Erste Gedanken und bessere Gedanken. – Mit solchen Ganz–schnell–klar–Gedanken sind wir schon ein paarmal auf diesen Seiten hereingefallen, und auch hier zeigt sich, dass wir etwas übersehen haben.

Betrachten Sie noch einmal Bild 25. Dort sind 8 Tetraeder zu sehen. Sie liegen nicht alle in derselben Elementarzelle, sondern umgeben eine bestimmte Kugel in einer bestimmten Kugelschicht. Aber Sie können sich die Kugelschichten endlos fortgesetzt denken, und auch die Tetraeder werden dann auf gleiche Weise fortgesetzt. Alle Tetraeder (die die Tetraederlücken definieren) haben eine Fläche, die parallel zu den Kugelschichten liegt. Das bedeutet, dass die Senkrechte zu diesen Flächen auch senkrecht zu den Kugelschichten steht. Man kann sagen, alle Tetraeder haben die gleiche Ausrichtung.

Es gibt in Bild 25 aber 2 Arten von Tetraedern. Die eine Hälfte steht aufrecht auf der Kugelschicht, die andere hängt kopfüber an ihr. Man kann sagen, die Tetraeder haben 2 unterschiedliche Orientierungen.

Bevor wir versuchen, die gleiche Ausrichtung und die unterschiedliche Orientierung in den Bildern 49 und 50 wieder zu finden, machen wir uns noch einmal klar, dass die Raumdiagonalen des Würfels senkrecht auf den Kugelschichten stehen. Das habe ich in Kapitel 7.3.2.2. ausführlich erklärt, und in Bild 17 können Sie Ebenen, die Kugelschichten entsprechen, in einer Elementarzelle sehen.

 

Nun ist es Zeit, sich die Tetraeder noch einmal genau anzusehen. Betrachten Sie dazu zuerst Bild 51. Links unten im Bild ist ein Tetraeder. Eine seiner Ecken ist im Ursprung. Er ist in Richtung einer Raumdiagonalen ausgerichtet (das heißt, die Tetraederfläche, die nicht den Ursprung enthält, steht senkrecht zur Raumdiagonalen). Da der Würfel 8 Ecken, aber nur 4 Raumdiagonalen besitzt, muss auf derselben Raumdiagonalen ein weiterer Tetraeder sein. Er ist in Bild 51 rechts oben in der Elementarzelle zu finden. Dann habe ich den Tetraeder aus dem Ursprung um je eine Einheit in x–, y– und z–Richtung verschoben und dazu gezeichnet. Er hat mit dem zweiten Tetraeder einen gemeinsamen Punkt. Beide haben die gleiche Richtung (längs der Raumdiagonalen), aber unterschiedliche Orientierung (→ Fußnote 2).

 

Wenn Sie Bild 51 mit Bild 25 vergleichen, finden Sie dieselben Tetraeder gleich wieder, einmal mit gelben Kanten, dann magenta mit blauen Kanten.

2 von 8 Tetraedern haben die gleiche Ausrichtung. Aber was ist mit den anderen 6 ?

Einen ersten kleinen Hinweis finden Sie in Bild 49. Dort scheinen 2 der 3 Tetraeder genau die gleiche Schattierung (hervorgerufen durch simulierte Beleuchtung) zu haben. Ist das Zufall, oder haben die beiden, gewiss nicht auf derselben Raumdiagonalen liegenden, Tetraeder etwa die gleiche Ausrichtung ?

Einen deutlicheren Hinweis liefert Bild 17. Dort ist eine rote Ebene eingezeichnet, auf der 3 Kugeln liegen. Die Ebene definiert eine Kugelschicht, und die 3 Kugeln liegen in derselben Kugelschicht. Alle Tetraeder sollten eine Fläche haben, die in dieser Ebene liegt. Die nächste Aufgabe ist also, die anderen 6 Tetraeder darauf zu prüfen, ob sie diese Bedingung erfüllen.

Wenn Sie Bild 52 ansehen, erkennen Sie, dass wieder alles passt.

In der Elementarzelle (im Würfel) sind 4 Tetraeder eingezeichnet. Alle 4 haben eine Ecke in einer der Würfelecken. Es sind also Tetraeder, die jeweils eine Tetraederlücke definieren. Ich habe diesmal mein Augenmerk von den Raumdiagonalen weg gerichtet, und auf die Lage im Raum hin. Und schon ist klar, alle 4 haben eine Fläche, die in einer der roten Ebenen aus Bild 17 liegt, und die damit in einer Kugelschicht liegt. Alle 4 haben die gleiche Ausrichtung.

Genauso schnell ist klar, dass alle 4 Tetraeder die gleiche Orientierung haben. Sie stehen (wenn man die Szene aus der richtigen Richtung betrachtet) aufrecht auf einer Kugelschicht. Sieht man genau hin, bemerkt man, dass die beteiligten Würfelecken keine Nachbarn sind, sondern dass immer eine weitere Ecke zwischen 2 Ecken mit Tetraeder liegt. Ahnen Sie schon, dass an diesen Ecken die kopfstehenden Tetraeder beginnen ?

Die Ausrichtung aller Tetraederlücken in der Elementarzelle der kubisch–dichtesten Kugelpackung ist gleich. Alle stehen senkrecht zu einer beliebigen Raumdiagonale.

Wundert Sie das ? Es sollte nicht. Am Ende von Kapitel 7.3.2.2. hatte ich ganz überrascht getan und gesagt, dass die Raumdiagonalen den Komplementärwinkel zum Tetraederwinkel (70,53 Grad) einschließen. Und deshalb (ja, wirklich deshalb) kann man alle Tetraeder an jeder der 4 Raumdiagonalen ausrichten. So ganz nebenbei haben wir Symmetrieelemente des Würfels kennen gelernt. Er besitzt 4 dreizählige Drehachsen.

7.3.2.9. Oktaederlücken – Beschreibung mit Mathematik

Wie groß sind die Oktaederlücken ?

Wieder steht die Frage im Mittelpunkt, wie groß eine Kugel höchstens sein darf, um in eine Oktaederlücke zu passen. Grund dieses Interesses ist, dass sich von der kubisch–dichtesten Kugelpackung eine Menge anderer Kristallstrukturen ableiten, bei denen Oktaederlücken mit anderen Atomen gefüllt sind.

• Mehr über das Befüllen von Oktaederlücken erfahren Sie in Kapitel 7.4.1. (Binäre Kristallstrukturen).
• Mehr über die dabei entstehenden Kristallstrukturen erfahren Sie in Kapitel 7.4.1.4. (Tabelle der binären Strukturtypen).

 

 

 

Die Berechnung von r_L ist nun einfach. Betrachte dazu das Dreieck ABM. Nach dem Satz von Pythagoras gilt d_AM² + d_AM² = d_AB².
Es folgt (r_K + r_L)² + (r_K + r_L)² = (2r_K)².
Daraus folgt 2 r_K² + 4 r_kr_L + 2 r_L² = 4 r_K².
Weiter folgt 2 r_L² + 4 r_kr_L – 2 r_K² = 0
und r_L² + 2 r_kr_L – r_K² = 0.
Nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen folgt
r_L = – r_k ± sqrt(2 r_K²).
Eine der beiden Lösungen ist negativ. Sie wird verworfen. Die andere lautet
r_L = – r_k + sqrt(2) ∗ r_K = r_K ∗ (sqrt(2)–1) = 0,4142 ∗ r_K.

Damit ist die Frage nach der Größe der Oktaederlücke beantwortet. Besteht die kubisch–dichteste Kugelpackung aus Kugeln mit dem Radius r, so haben die oktaedrischen Lücken einen Radius von r_L = 0,4142 ∗ r. Sie sind also wesentlich größer als die tetraedrischen Lücken.

Positionen und Ausrichtung der Oktaederlücken

Hier werde ich ähnlich vorgehen wie bei den Tetraederlücken.

Position. – Die erste Frage ist die nach der Zahl der Oktaederlücken pro Elementarzelle. In der Elementarzelle sind 4 Atome. In Kapitel 7.3.2.5. haben Sie erfahren, dass es pro Atom eine Oktaederlücke gibt. In der Elementarzelle sind also 4 Oktaederlücken.

Die zweite Frage ist die nach ihrer Position.

Die erste Oktaederlücke. – Oktaederlücken sind groß. Im vorigen Abschnitt haben Sie erfahren, dass sie fast doppelt so groß sind wie Tetraederlücken, d.h. es passen fast doppelt so große Atome hinein. Wo ist soviel Platz in der Elementarzelle ? Betrachten Sie noch einmal Bild 43. Alle Atome liegen auf den Außenflächen des Würfels. In seinem Innern ist noch kein einziges Atom. Platz ist dort jedenfalls genug, und ich lege die erste Oktaederlücke probeweise in die Mitte des Würfels, an die Position ( 0,5 / 0,5 / 0,5 ). In Bild 43 können Sie die nächsten Nachbarn des Mittelpunkts erkennen. Es sind die Mittelpunkte der Seitenflächen. Ihr Abstand vom Mittelpunkt ist die halbe Länge der Würfelkante, und es sind 6 Stück. 6 Nachbarn, ganz symmetrisch um den Mittelpunkt angeordnet, bilden ein Oktaeder. Tatsächlich haben wir die erste Oktaederlücke gefunden. Bild 55 zeigt sie.

Übrigens haben Sie schon weiter vorn einen Hinweis auf die Lage der ersten Oktaederlücke bekommen. In Bild 50 haben 4 Tetraederlücken einen pyramidenförmigen Hohlraum gebildet, und ich habe gefragt, ob man wohl etwas Passendes findet, sie zu füllen. Diese Frage war kein Zufall. Diese Pyramide ist ein halber Oktaeder, und es ist eine Oktaederlücke, die hineinpasst.

Die übrigen Oktaederlücken. – Eine Oktaederlücke haben wir gefunden, aber wo sind die anderen 3 ? Im Innern der Elementarzelle ist nirgends Platz für so einen riesigen Oktaeder.

In einer solchen Situation ist es oft hilfreich, das Blickfeld zu erweitern.

In Bild 56 habe ich neben und über die Elementarzelle ein paar weitere Kugeln gezeichnet und einen zweiten Würfel hellgrau markiert. Der hellgrau markierte Würfel hat mit der Elementarzelle viele Gemeinsamkeiten. An den Ecken und auf den Flächenmitten sind Kugeln, sonst nirgends. Er ist im Grunde eine Elementarzelle, die gegenüber der ursprünglichen (schwarz markierten) um eine halbe Flächendiagonale verschoben ist. Und in seinem Mittelpunkt ist Platz für eine Oktaederlücke. Ihre Koordinaten sind ( 1 / 1 / 0,5 ). Sie liegt also in der Mitte einer Kante der Elementarzelle.

Diese zweite Oktaederlücke gehört aber nicht vollständig zur Elementarzelle. In Bild 57 sehen Sie, dass sie noch an 3 weiteren Elementarzellen, insgesamt also an 4 Elementarzellen, beteiligt ist. Zur gerade betrachteten gehört ein Viertel. Wir brauchen noch 11/4 Oktaeder, um die fehlenden 3 Oktaederlücken aufzusammeln.

Zum Glück hat ein Würfel 12 Kanten. Mit jeder können wir dasselbe Spiel treiben, und wir erhalten 12/4 = 3 Oktaederlücken.

• Mehr Informationen zu Elementen der Elementarzelle, die auf ihrem Rand liegen, erhalten Sie in Kapitel 7.1.3.4.

Die Oktaederlücken der kubisch–dichtesten Kugelpackung liegen im Mittelpunkt des Würfels und auf seinen Kantenmitten.

Die Positionen der Oktaederlücken sind ( 0,5 / 0,5 / 0,5 ), ( 0,5 / 0 / 0 ), ( 0 / 0,5 / 0 ) und ( 0 / 0 / 0,5 ).

Ausrichtung. – Zu diesem Punkt kann ich mich kurz fassen. Bereits in Bild 37 haben Sie gesehen, dass alle Oktaederlücken die gleiche Ausrichtung haben. In Bild 57 sehen Sie sie. Alle Oktaederlücken stehen aufrecht auf dem Boden oder an einer Seitenfläche der Elementarzelle. Je 2 von ihnen haben eine gemeinsame Kante.

Eine seltsame Eigenschaft. – Die Positionen der Oktaederlücken in der kubisch–dichtesten Kugelpackung sind
( 0,5 / 0,5 / 0,5 ), ( 0,5 / 0 / 0 ), ( 0 / 0,5 / 0 ) und ( 0 / 0 / 0,5 ).

Nun verschiebe ich diese Atome um eine halbe Kantenlänge des Elementarzellenwürfels in x–Richtung. Das heißt, alle x–Koordinaten werden um 0.5 größer. Es ergeben sich die neuen Koordinaten
( 1 / 0,5 / 0,5 ), ( 1 / 0 / 0 ), ( 0,5 / 0,5 / 0 ) und ( 0,5 / 0 / 0,5 ).

Dadurch sind 2 Punkte in die benachbarte Elementarzelle gerutscht. Ich hole sie zurück, indem ich deren x–Koordinate um 1 verringere. So erhält man
( 0 / 0,5 / 0,5 ), ( 0 / 0 / 0 ), ( 0,5 / 0,5 / 0 ) und ( 0,5 / 0 / 0,5 ).

Aber das sind genau die Positionen der Atome (vgl. dazu Tabelle 1).

Verschiebt man also die Oktaederlücken ein Stück, landet man auf den Positionen der Atome.

Andererseits gilt : Verschiebt man einen Gegenstand (egal, ob die reale Kaffeetasse auf dem Tisch oder die gedachte Elementarzelle), erhält man denselben Gegenstand wieder, nur an einem anderen Ort.

Insgesamt heißt das, dass die Oktaederlücken–Positionen und die Atompositionen in der kubisch–dichtesten Kugelpackung im Grunde (das heißt kristallographisch gesehen) dasselbe sind.

Man kann es auch ganz deutlich sagen.

Die Oktaederlücken der kubisch–dichtesten Kugelpackung bilden selbst eine kubisch–dichteste Packung.

Dieser Satz wird uns noch an vielen Stellen nützlich sein, zum Beispiel in Kapitel 7.4.2.

Ein Rätsel

Wieviel Platz nehmen die Lücken ein ?

Die Tetraeder der Tetraederlücken haben als Kantenlänge eine halbe Flächendiagonale. Diese beträgt 0,5 ∗ sqrt(2). Das Volumen eines Tetraeders ist gemäß Formelsammlung V = sqrt(2)/12 ∗ a³, wobei a die Kantenlänge ist. Man erhält V = 1/24 für das Volumen eines solchen Tetraeders und V = 8/24 = 1/3 für das Volumen der 8 Tetraeder.

Die quadratische Pyramide, die einen halben Oktaeder bildet, hat als Kantenlänge ebenfalls eine halbe Flächendiagonale, also wieder 0,5 ∗ sqrt(2). Ihre Höhe ist 0,5. Gemäß Formelsammlung beträgt das Volumen des halben Oktaeders V = 1/3 ∗ a² ∗ h. Man erhält V = 1/12. Die Elementarzelle enthält 4 Oktaederlücken, also 8 halbe. Deren Volumen ist V = 8/12 = 2/3.

Das Gesamtvolumen aller Lücken ist dann V = 1/3 + 2/3 = 1.
Die Lücken nehmen die gesamte Elementarzelle ein.

Und wo sind die Atome ?

Die Auflösung finden Sie hier.

Zusammenfassung

Hier fasse ich die wichtigen kristallographischen Informationen zur Elementarzelle der kubisch–dichtesten Kugelpackung zusammen.

Tabelle 2 : Beschreibung der Elementarzelle
Kategorie	Wert	Wyckoff– Position
Raumgruppe	Nr. 225
Elementarzelle	Sie ist kubisch.
	a = b = c
	α = β = γ = 90°
Atome	( 0 / 0 / 0 ), ( 0,5 / 0,5 / 0 ),	4a
	( 0,5 / 0 / 0,5 ), ( 0 / 0,5 / 0,5 )
Tetraederlücken	( 0,25 / 0,25 / 0,25 ), ( 0,25 / 0,25 / 0,75 ),	8c
	( 0,25 / 0,75 / 0,25 ), ( 0,25 / 0,75 / 0,75 ),
	( 0,75 / 0,25 / 0,25 ), ( 0,75 / 0,25 / 0,75 ),
	( 0,75 / 0,75 / 0,25 ), ( 0,75 / 0,75 / 0,75 )
Oktaederlücken	( 0,5 / 0,5 / 0,5 ), ( 0,5 / 0 / 0 ),	4b
	( 0 / 0,5 / 0 ), ( 0 / 0 / 0,5 )

Tabelle 2 : Beschreibung der Elementarzelle der kubisch–dichtesten Kugelpackung.

 

 

7.3.2.10. Atomumgebungen und Nachbarn – Beschreibung mit Mathematik

Neben einer Schnittsequenz der Elementarzelle und einem Histogramm zur Umgebung der Kugeln finden Sie hier Zusatzinformationen zu den Umgebungen der Tetraeder– und Oktaederlücken.

Schnittsequenz

Wie schon bei der Besprechung der hexagonal–dichtesten Kugelpackung in Kapitel 7.3.1.9. habe ich eine Schnittsequenz gewählt, die neben den Kugeln auch die Tetraeder– und die Oktaederlücken enthält. Bild 58 zeigt sie.

Zur Farbcodierung habe ich dieselben Farben wie weiter vorn im Abschnitt verwendet.

• hellblau : Kugeln (Atome)
• rot : Tetraederlücken
• grün : Oktaederlücken

Die Schnittsequenz enthält 4 Ebenen. Ich habe sie im Bild platzsparend und zickzackförmig angeordnet.

 

Atomumgebung – Kugeln

Das Histogramm der Atomumgebung der Kugeln in der kubisch–dichtesten Kugelpackung ist einfach und übersichtlich. Es ist viel einfacher und als das der hexagonal–dichtesten Packung in Kapitel 7.3.1.9. Auch die Interpretation wird einfach und übersichtlich sein.

Zur Unterstützung der Interpretation benutze ich eine Gruppe aus 2 x 2 x 2 Elementarzellen, die ich einen Großwürfel nenne. Bilder vom Großwürfel werden aber schnell unübersichtlich, denn die vorderen Teile verdecken die hinteren. In den Bildern 60 bis 64 zeige ich daher nur die hintere Hälfte des Großwürfels. Die fehlenden Teile können Sie in Gedanken leicht ergänzen.

 

dunkelblau : In allen Bildern vom Großwürfel ist in der Mitte eine dunkelblaue Kugel. Es ist die Kugel, deren Umgebung wir im folgenden betrachten.

tannengrün : Das Histogramm zeigt, dass in einem Abstand von 1,0 von der dunkelblauen Kugel 12 Kugeln vorhanden sind. Es sind die Kugeln, die der dunkelblauen Kugel am nächsten liegen, das heißt, es sind ihre Nachbarn, und sie berühren die dunkelblaue Kugel.

In Bild 60 sehen Sie 4 davon. Sie sind tannengrün gezeichnet. Alle 4 liegen in der x–y–Ebene, und sie liegen in einer Flächenmitte einer Elementarzelle. Weitere 4 Kugeln liegen in der x–z–Ebene. Diese Ebene verläuft parallel zur Blickrichtung. 2 der 4 Kugeln sind in Bild 60 zu sehen, aber nicht markiert. Die restlichen 4 Kugeln liegen in der y–z–Ebene, die parallel zum Boden des Großwürfels verläuft. Auch hier sind 2 Kugeln zu sehen, aber nicht markiert.

Der Abstand der 12 tannengrünen Kugeln von der blauen beträgt 0,5 sqrt(2) ⋅ a ≈ 0,707 a. Dabei ist a die Kantenlänge der Elementarzelle. Ihre Positionen sind ( ±0,5 / ±0,5 / 0 ), ( ±0,5 / 0 / ±0,5 ) und ( 0 / ±0,5 / ±0,5 ).

Schichtsicht. – Dass eine gegebene Kugel 12 Nachbarn hat, die sie berühren, ist keine Neuigkeit. Bereits in Kapitel 7.3.2.3. habe ich diese Tatsache vorgestellt, und dort haben Sie auch erfahren, dass die Nachbarn in Schichten angeordnet sind. 6 Nachbarn liegen in der gleichen Kugelschicht wie die gegebene Kugel, je 3 in den Kugelschichten darüber und darunter.

Und nun sollen die Nachbarkugeln plötzlich in den Koordinatenebenen liegen ? Sind das noch dieselben Kugeln, oder habe ich da etwas durcheinander gebracht ?

Sehen Sie sich dazu Bild 17 an. Es zeigt Ihnen, dass die Kugelschichten senkrecht zu einer Raumdiagonale der Elementarzelle liegen, und es zeigt eine rote Ebene, in der eine Kugelschicht mit 3 Nachbarkugeln einer gegebenen Kugel liegt.

Die 3 Nachbarkugeln der blauen Kugel in Bild 60, die in der rechten oberen Elementarzelle liegen, haben die Koordinaten ( 0,5 / 0,5 / 0 ), ( 0,5 / 0 / 0,5 ) und ( 0 / 0,5 / 0,5 ). Sie liegen in einer Schicht. Gegenüber (damit meine ich, an der gegebenen Kugel gespiegelt) findet sich wieder eine Schicht mit 3 Kugeln. Ihre Koordinaten sind ( –0,5 / –0,5 / 0 ), ( –0,5 / 0 / –0,5 ) und ( 0 / –0,5 / –0,5 ). Die anderen 6 Kugeln bilden die Schicht, in der die gegebene Kugel liegt.

Die Ausführungen im vorigen Absatz waren korrekt, aber nicht vollständig. Bereits in Kapitel 7.3.2.2. habe ich erklärt, wie man die Kugelschichten auf 4 Arten aus den 12 Nachbarkugeln auswählen kann, entsprechend den 4 Raumdiagonalen eines Würfels. Man kann also 4 Kugelschichten (aus 6 Kugeln) konstruieren, an denen die gegebene Kugel beteiligt ist.

Insgesamt kann man feststellen, dass die 12 Kugeln im Abstand von 0,5 sqrt(2) ⋅ a eindeutig bestimmt sind, aber auf mehrere Arten beschrieben werden können.

grün / laubfroschgrün : Das Histogramm zeigt in einem Abstand von etwas über 1,4 (genau sqrt(2)) weitere 6 Kugeln.

Sie haben einen Abstand von a (also der Kantenlänge der Elementarzelle) von der blauen Kugel, und sie liegen auf den Koordinatenachsen. In Bild 61 sehen Sie 5 von ihnen (grün markiert). Ihre Positionen sind ( ±1 / 0 / 0 ), ( 0 / ±1 / 0 ) und ( 0 / 0 / ±1 ).

 

violett : Der nächste Eintrag im Histogramm liegt bei knapp 1,8. Der genaue Wert beträgt sqrt(3), und dort sind 24 Kugeln. Wo ist genug Platz für eine solche Riesenmenge von Kugeln, und wie sind sie angeordnet ?

Der Abstand von der blauen Kugel beträgt 0,5 sqrt(6) ⋅ a ≈ 1,225 a (→ Fußnote 3). Dabei ist a die Kantenlänge der Elementarzelle.

Alle 24 Kugeln liegen auf der Außenfläche des Großwürfels. Sie können sich Zahl und Positionen auf 2 Arten klar machen.

 

Bild 62 zeigt auf der rechten Fläche des Großwürfels 2 violette Kugeln. Da das Bild nur den halben Großwürfel abbildet, sind weiter vorn 2 weitere violette Kugeln. Insgesamt sind auf jeder Seitenfläche des Großwürfels 4 Kugeln, und er hat 6 Flächen. Es ergeben sich 24 Kugeln.

Oder Sie betrachten eine der 8 Elementarzellen, aus denen der Großwürfel zusammengesetzt ist. Jede hat 3 Flächen, die auf seiner Außenseite liegen. In der rechten oberen Elementarzelle in Bild 62 sind also 3 Kugeln violett markiert. Da es 8 Elementarzellen mit je 3 Außenflächen sind, erhalten wir wieder 24 violette Kugeln.

Die Positionen der violetten Kugeln sind ( ±1 / ±0,5 / ±0,5 ), ( ±0,5 / ±1 / ±0,5 ) und ( ±0,5 / ±0,5 / ±1 ).

wasserblau : Der nächste Eintrag im Histogramm liegt genau bei 2,0, und dort sind 12 Kugeln.

Wo finden wir Kugeln, die exakt doppelt so weit von der blauen Kugel entfernt sind wie die tannengrünen ? Sie sind an den Kantenmitten des Großwürfels.

Bild 63 zeigt 4 von ihnen. Ich habe sie wasserblau markiert. Ihr Abstand von der blauen Kugel beträgt d = sqrt(2) a. Wieder ist a die Kantenlänge der Elementarzelle.

Dass es gerade 12 Kugeln sind, können Sie sich auf 2 Arten klar machen. Die 4 wasserblauen Kugeln in Bild 63 liegen in der x–y–Ebene, genau wie die tannengrünen. Und analog zu diesen finden Sie auch je 4 wasserblaue Kugeln in der x–z– und der y–z–Ebene, insgesamt also 12 Kugeln. Oder Sie betrachten die Kanten des Großwürfels. Er hat wie jeder Würfel 12 davon, auf die sich die 12 Kugeln verteilen.

Die Positionen der wasserblauen Kugeln sind ( ±1 / ±1 / 0 ), ( ±1 / 0 / ±1 ) und ( 0 / ±1 / ±1 ).

ohne Farbe : Bei etwas über 2,2 im Histogramm (der genaue Wert ist sqrt(5)) liegen 12 weitere Kugeln. Sie sind außerhalb des Großwürfels.

Ihr Abstand von der blauen Kugel beträgt 0,5 sqrt(10) ⋅ a ≈ 1,581 a.

gelb : Der nächste Eintrag im Histogramm wäre bei sqrt(6)  ≈ 2,450, aber es fehlt an Platz, ihn zu zeichnen. Dort liegen 8 Kugeln, und alle sind im Großwürfel.

An den Ecken des Großwürfels haben wir bisher noch nichts gefunden, und dort sind diese 8 Kugeln. Bild 64 zeigt 4 von ihnen. Sie sind gelb markiert.

Der Abstand zur blauen Kugel beträgt d = sqrt(3) a (a ist die Kantenlänge der Elementarzelle).

Ihre Positionen sind ( ±1 / ±1 / ±1 ).

Wiedererkennungswert. – Die Sequenz 12 – 6 – 24 und die längere Sequenz 12 – 6 – 24 – 12 – 12 – 8 sind typisch für die kubisch–dichteste Kugelpackung. Wenn Sie eine dieser Sequenzen irgendwo finden, haben Sie ein starkes Signal dafür, einer kubisch–dichtesten Kugelpackung begegnet zu sein.

 

Nachbarschaften

Oft entsteht die Situation, dass in einer Kugelpackung nicht nur die Positionen der Kugeln, sondern auch die Tetraeder– und die Oktaederlücken von kleinsten Teilchen besetzt sind. Die kleinsten Teilchen können Atome, Ionen, und auch geladene oder ungeladene Atom– oder Ionengruppen sein. Die Positionen der Kugeln und die Lücken können ganz oder teilweise besetzt sein. Eine teilweise Besetzung kann regelmäßig oder zufällig sein. An allen Positionen kann eine Besetzung durch eine einheitliche Teilchenart stattfinden, oder es können dort unterschiedliche Teilchen sein.

Zwischen allen diesen Teilchen finden Wechselwirkungen statt. Das heißt, es können dort alle in Kapitel 5 genannten Bindungsarten vorliegen. Um diese Wechselwirkungen zu verstehen, ist eine Voraussetzung, die Positionen der Kugeln und Lücken zu kennen, die rund um eine Kugel oder Lücke liegen. Im vorigen Abschnitt habe ich die Positionen der Kugeln rund um eine gegebene Kugel ausführlich besprochen, und ich habe auch weiter entfernte Nachbarn betrachtet.

Im folgenden werde ich mich beschränken.

Ich werde für Kugeln, Tetraeder– und Oktaederlücken nur die jeweils am nächsten liegenden Kugeln und Lücken angeben. Deren Zahl und Abstand ist unabhängig von der ausgewählten Kugel oder der ausgewählten Lücke. Auch deren Position ist, relativ zur ausgewählten Kugel oder Lücke, dieselbe.

Kugeln als Nachbarn von Kugeln. – Diesen Punkt habe ich gerade behandelt. Es sind 12 Kugeln.

Tetraederlücken als Nachbarn von Kugeln. – Jede Kugel ist von 8 Tetraederlücken in einem Abstand von 0,25 sqrt(3) ⋅ a ≈ 0,433 a umgeben. Sie bilden einen Würfel (vgl. Bilder 29 und 30). a ist die Kantenlänge der Elementarzelle.

Die Positionen der Tetraederlücken, die die Kugel im Ursprung umgeben, sind ( ±0,25 / ±0,25 / ±0,25 ).

Oktaederlücken als Nachbarn von Kugeln. – Jede Kugel ist von 6 Oktaederlücken in einem Abstand von 0,5  a umgeben. Sie bilden einen Oktaeder (vgl. Bild 41).

Die Positionen der Oktaederlücken, die die Kugel im Ursprung umgeben, sind ( ±0,5 / 0 / 0 ), ( 0 / ±0,5 / 0 ) und ( ±0 / 0 / ±0,5 ).

Kugeln als Nachbarn von Tetraederlücken. – Jede Tetraederlücke ist von 4 Kugeln im Abstand von 0,25 sqrt(3) ⋅ a ≈ 0,433 a umgeben. Sie bilden einen Tetraeder – was sonst ?

Die Positionen der Kugeln, die die Tetraederlücke in ( 0,25 / 0,25 / 0,25 ) umgeben, sind ( 0 / 0 / 0 ), ( 0 / 0,5 / 0,5 ), ( 0,5 / 0 / 0,5 ) und ( 0,5 / 0,5 / 0 ).

Tetraederlücken als Nachbarn von Tetraederlücken. – Jede Tetraederlücke ist von 6 Tetraederlücken in einem Abstand von 0,5 a umgeben. Sie bilden einen Oktaeder.

Die Positionen der Kugeln, die die Tetraederlücke in ( 0,25 / 0,25 / 0,25 ) umgeben, sind ( 0,25 / 0,25 / –0,25 ), ( 0,25 / 0,25 / 0,75 ), ( 0,25 / –0,25 / 0,25 ), ( 0,25 / 0,75 / 0,25 ), ( –0,25 / 0,25 / 0,25 ) und ( 0,75 / 0,25 / 0,25 ).

Oktaederlücken als Nachbarn von Tetraederlücken. – Jede Tetraederlücke ist von 4 Oktaederlücken im Abstand von 0,25 sqrt(3) ⋅ a ≈ 0,433 a umgeben. Sie bilden einen Tetraeder.

Die Positionen der Oktaederlücken, die die Tetraederlücke in ( 0,25 / 0,25 / 0,25 ) umgeben, sind ( 0,5 / 0,5 / 0,5 ), ( 0 / 0 / 0,5 ), ( 0 / 0,5 / 0 ) und ( 0,5 / 0 / 0 ).

Insgesamt ist jede Tetraederlücke im Abstand von 0,25 sqrt(3) ⋅ a von 8 Objekten umgeben, 4 Kugeln und 4 Oktaederlücken. Zusammen bilden die 8 Objekte einen Würfel.

Oktaederlücken allgemein. – Die Oktaederlücken bilden selbst eine kubisch–dichteste Packung (vgl. Kapitel 7.3.2.9). Deshalb werden Sie hier viele Analogien zur Nachbarschaft der Kugeln finden.

Kugeln als Nachbarn von Oktaederlücken. – Jede Oktaederlücke ist von 6 Kugeln im Abstand von 0,5 ⋅ a umgeben. Sie bilden einen Oktaeder – was sonst ?

Die Positionen der Kugeln, die die Oktaederlücke in ( 0,5 / 0,5 / 0,5 ) umgeben, sind ( 0,5 / 0,5 / 0 ), ( 0,5 / 0 / 0,5 ), ( 0 / 0,5 / 0,5 ), ( 0,5 / 0,5 / 1 ), ( 0,5 / 1 / 0,5 ) und ( 1 / 0,5 / 0,5 ).

Tetraederlücken als Nachbarn von Oktaederlücken. – Jede Oktaederlücke hat 8 Tetraederlücken als Nachbarn, in einem Abstand von 0,25 sqrt(3) ⋅ a ≈ 0,433 a. a ist die Kantenlänge der Elementarzelle. Die 8 Tetraederlücken bilden einen Würfel.

Die Positionen der Tetraederlücken, die die Oktaederlücke in ( 0,5 / 0,5 / 0,5 ) umgeben, sind ( 0,25 / 0,25 / 0,25 ), ( 0,25 / 0,25 / 0,75 ), ( 0,25 / 0,75 / 0,25 ), ( 0,25 / 0,75 / 0,75 ), ( 0,75 / 0,25 / 0,25 ), ( 0,75 / 0,25 / 0,75 ), ( 0,75 / 0,75 / 0,25 ) und ( 0,75 / 0,75 / 0,75 ).

Oktaederlücken als Nachbarn von Oktaederlücken. – So wie jede Kugel 12 Kugeln als Nachbarn hat, so hat auch jede Oktaederlücke 12 Oktaederlücken als Nachbarn. Sie liegen auf Ebenen, die parallel zur x–y–, zur x–z– und zur y–z–Ebene sind, analog zu den tannengrünen Kugeln weiter vorn, in einem Abstand von 0,5 sqrt(2) ⋅ a.

Die Positionen der Oktaederlücken, die die Oktaederlücke in ( 0,5 / 0,5 / 0,5 ) umgeben, sind ( 0 / 0 / 0,5 ), ( 0 / 1 / 0,5 ), ( 1 / 0 / 0,5 ), ( 1 / 1 / 0,5 ), ( 0 / 0,5 / 0 ), ( 0 / 0,5 / 1 ), ( 1 / 0,5 / 0 ), ( 1 / 0,5 / 1 ), ( 0,5 / 0 / 0 ), ( 0,5 / 0 / 1 ), ( 0,5 / 1 / 0 ) und ( 0,5 / 1 / 1 ).

7.3.2.11. Alle JSmol–Visualisierungen dieser Seite im Überblick

• Der Aufbau der kubisch–dichtesten Kugelpackung
• Warum die kubisch–dichteste Packung kubisch heißt
• Eine einzelne Tetraederlücke
• Anordnung der Tetraederlücken rund um ein Atom
• Die Tetraederlücken rund um ein Atom bilden einen Würfel
• Schnitt durch eine Tetraederlücke
• Konstruktion einer Oktaederlücke
• Anordnung der Oktaederlücken rund um ein Atom
• Die Oktaederlücken rund um ein Atom bilden einen Oktaeder
• Schnitt durch eine Oktaederlücke
• Die Elementarzelle

Infobereich

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