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7.3.2. Die kubisch–dichteste Kugelpackung

Kleine Vorrede

Wenn Sie diese Seite mit der über die hexagonal–dichteste Kugelpackung vergleichen, werden Sie eine frappierende Ähnlichkeit feststellen. Das ist Absicht. Beide Kugelpackungen sind sehr ähnlich, aber ich verweise nicht von dieser auf die andere Seite und sage „Lesen Sie doch dort”, sondern stelle alle Aspekte der kubisch–dichtesten Packung ausführlich und im Zusammenhang dar, wie Sie es von mir gewohnt sind. Der copy–Befehl ist mein Freund. Natürlich gibt es auch Unterschiede zwischen den beiden Seiten, nämlich dort, wo es Unterschiede zwischen den beiden Packungen gibt. Finden Sie sie heraus.

Worum geht es ?

Es geht darum, wie Metalle und Edelgase kristallisieren. Wir benutzen dazu ein einfaches Modell. Die Atome sind in diesem Modell feste, starre und gleichgroße Kugeln. Sie können sie mit Tischtennisbällen oder den Kugeln eines Kugellagers vergleichen. In ein gegebenes Volumen sollen möglichst viele solcher Kugeln hineingepackt werden. Wie sind sie dann angeordnet, und welche Eigenschaften hat eine solche Anordnung von Kugeln ?

Diese Fragen werde ich zuerst anschaulich beantworten und dann mathematisch unterlegen.

Dazu ist der Abschnitt in Teile gegliedert.

Verstehen durch Ansehen

• Aufbau der Kugelpackung – gleich hier
• Der Name und der Würfel
• Nachbarn
• Tetraederlücken
• Oktaederlücken
• Vertreter

Beschreibung mit Mathematik

• Elementarzelle und Atompositionen
• Tetraederlücken
• Oktaederlücken
• Atomumgebungen und Nachbarn

Interaktives Erkunden

• Zusammenstellung aller 10 JSmol–Visualisierungen zur kubisch–dichtesten Kugelpackung

7.3.2.1. Aufbau der Kugelpackung

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sie können den Aufbau der kubisch–dichtesten Kugelpackung in 10 Schritten, entsprechend den Bildern im linken Teil dieser Seite, in einer JSmol–Visualisierung nachvollziehen.

7.3.2.2. Der Name und der Würfel

In vielen Schritten haben wir die kubisch–dichteste Kugelpackung aufgebaut, aber einen Würfel haben wir noch nicht gesehen. Wieso also heißt diese Packung kubisch ?

Tatsächlich ist in der Packung ein Würfel verborgen. Er ist nicht so einfach zu finden und freizulegen, und wir werden im Folgenden mehrere Schritte dazu benötigen. Aber dieser gut versteckte Würfel kann doch nicht der ganze Grund für den Namen sein. Ob da noch mehr dahintersteckt ?

Ja, klar. Dieser Würfel bildet die Elementarzelle der kubisch–dichtesten Kugelpackung. Und das ist nun wirklich Grund genug für den Namen.

• Mehr über diese Elementarzelle erfahren Sie in Kapitel 7.3.2.7.
• Mehr über Elementarzellen im Allgemeinen erfahren Sie in Kapitel 7.1.3.

Der Würfel wird freigelegt

 

 

 

Die Kubisch–flächenzentrierte Packung. – Wir werden die Elementarzelle in Kapitel 7.3.2.7. genauer besprechen. Aber schon jetzt kann man sagen : Sie besteht aus einem Würfel, an dessen 8 Ecken je eine Kugel ist, und in dessen Flächenmittelpunkten je eine Kugel ist. Ein solcher Würfel heißt flächenzentriert, und die kubisch–dichteste Kugelpackung heißt auch kubisch–flächenzentrierte Kugelpackung (engl. cubic face–centred).

 

Die kubisch–flächenzentrierte Kugelpackung ist dasselbe wie die kubisch–dichteste Kugelpackung.

Orientierung des Würfels. – Eine Frage ist noch offen. Wie ist die Orientierung des Würfels in den Kugelschichten ?

Bild 16 soll Ihnen einen, wenn auch sicher nicht perfekten, Eindruck von der räumlichen Beziehung geben. In den oberen beiden Schichten des Bildes sind je 3 Würfelecken. Darüber und darunter ist jeweils eine einzelne Kugel, die zum Würfel gehört. Bezogen auf den Würfel liegen diese beiden Kugeln in maximaler Entfernung voneinander, man könnte sagen, sie liegen gegenüber. Die Verbindungslinie zwischen ihnen ist also die Raumdiagonale des Würfels. Bezogen auf die Kugelschichten liegen sie, wenn man die Szene von der Seite betrachtet, genau übereinander.

Die Raumdiagonale des Würfels (der Elementarzelle) steht senkrecht auf den Kugelschichten.

Viermal dasselbe

 

Eine Visualisierung

Sie können das Freilegen des Würfels auch in einer JSmol–Visualisierung verfolgen. Zu Beginn sehen Sie 6 Schichten von Kugeln. Mit dem Knopf „Würfel freilegen” führen Sie die einzelnen, eben beschriebenen weiteren Schritte aus.

Können Sie den Würfel jetzt wirklich gut erkennen ? Oder doch nicht so richtig ? Dann ändern Sie doch die Atomgröße. Sie können dann viel besser in das Innere der Schichten hineinsehen. Und betrachten Sie ihn aus anderen Richtungen, zum Beispiel aus „Richtung 1”. Jetzt sehen Sie deutlich, dass er sich über 4 Schichten erstreckt. Eine Kugel liegt außerhalb aller Schichten. Sie gehört zu der obersten Schicht, die schon im ersten Schritt verschwunden ist. Die 3 mit dieser Kugel verbundenen Kugeln liegen in der nächsten Schicht, weitere 3 Kugeln in der folgenden, und eine letzte Kugel noch eine Schicht tiefer. In den Bildern 12 bis 16 ist diese Situation gezeigt.

 

Der zweite Grund

Es gibt übrigens noch einen zweiten Grund für den Namen.

7.3.2.3. Nachbarn

Oft möchte man wissen, wieviele Nachbarn eine Kugel in einer Kugelpackung hat. Unter dem Begriff Nachbar soll hier verstanden werden, wieviele Kugeln eine gegebene Kugel berührt.

Den ersten Teil der Antwort sehen Sie in Bild 18. Es ist Bild 1 ähnlich und zeigt wie dieses eine Schicht Kugeln der kubisch dichtesten Kugelpackung. Eine Kugel (ich nenne sie im folgenden die gegebene Kugel) ist rot markiert. Sie sehen sofort, dass in dieser Schicht 6 andere Kugeln die gegebene Kugel berühren. Wir haben also schon 6  Nachbarn gefunden.

Hat die gegebene Kugel noch mehr Nachbarn ? Und wo könnten sie liegen ?

 

Den zweiten Teil der Antwort sehen Sie in Bild 19. Ich habe die gegebene (rot gezeichnete) Kugel aus dem vorigen Bild von allen Nachbarn der gleichen Schicht getrennt und sie dann (als einzelne Kugel) auf die darunter liegende Schicht gelegt. Bild 3 zeigt, was dabei passiert. Die Kugel kommt in einer Mulde aus 3 Kugeln zu liegen. Die gegebene Kugel berührt also 3 Kugeln aus der Schicht darunter. Wir haben 3 weitere Nachbarn gefunden, insgesamt sind es nun 9 Nachbarn.

Weitere Nachbarn sollte man in der Schicht suchen, die über der gegebenen Kugel liegt. Bild 20 zeigt, was man findet. 3 Kugeln (transparent gezeichnet und doch die gegebene Kugel fast verdeckend) liegen in Mulden, die an die gegebene Kugel angrenzen. Bild 20 ist somit ähnlich zu Bild 4. Die 3 transparenten Kugeln berühren die gegebene Kugel. Wir haben 3 weitere Nachbarn gefunden, insgesamt sind es nun 12 Nachbarn.

Fazit. – In der kubisch–dichtesten Kugelpackung hat jede Kugel 12 Nachbarn. 6 sind in der gleichen Schicht wie die gegebene Kugel, 3 in der Schicht darüber, und 3 in der Schicht darunter.

Ein Unterschied

Bis hierher waren die Abschnitte über die Nachbarn der beiden dichtesten Kugelpackungen sehr ähnlich.

Doch gibt es auch Unterschiede ? Ja.

Die Bilder 19 und  20 zeigen die Ebenen unter und über der gegebenen Kugel in der kubisch–dichtesten Packung. Die Nachbarkugeln der gegebenen Kugel sind in diesen beiden Ebenen unterschiedlich angeordnet, einmal links oberhalb, rechts oberhalb und unterhalb der gegebenen Kugel, dann links unterhalb, rechts unterhalb und oberhalb. Der Grund ist die Schichtenfolge ABC (vgl. dazu Bild 11) in der kubisch–dichtesten Packung. Die Schichtenfolge wiederholt sich erst nach 3 Schichten, und näher beieinander liegende Schichten (wie die beiden betrachteten) haben unterschiedliche Anordnung.

Den Gegensatz dazu bildet die hexagonal–dichteste Kugelpackung. Ihre Schichtenfolge ist AB. Die Schicht über der gegebenen Kugel und die unter ihr gehören also zu gleich benannten Schichten (zum Beispiel A). Daraus folgt, dass die Kugeln dieser beiden Schichten genau übereinander liegen, und das ist es, was Sie in den Bildern 11 und 12 in Kapitel 7.3.1.2. (Nachbarn in der hexagonal–dichtesten Kugelpackung) sehen. In Bild 11 dort sind 3 Kugeln, die die gegebene Kugel berühren. Sie liegen links oberhalb, rechts oberhalb und unterhalb von ihr. Die 3 (transparenten) Kugeln in Bild 12 dort, die die gegebene Kugel berühren, liegen, relativ zu ihr, genauso.

7.3.2.4. Tetraederlücken

Lücken zwischen den Atomen. – Sie wissen jetzt, wie die Atome gepackt sind. Aber was ist zwischen den Atomen ? Nichts ? Naja, darüber kann man diskutieren. In Kapitel 3.7.9. finden Sie die Diskussion, soweit sie in diesem Projekt geführt werden kann. Sicher kann man sagen : Dort, zwischen den Atomen, ist Platz. Man nennt den Raum zwischen den Atomen eine Lücke. In der kubisch–dichtesten Kugelpackung gibt es 2 Arten von Lücken, nämlich die Tetraederlücken und die Oktaederlücken.

Sind Lücken wichtig ? – Würde ich sonst darüber schreiben ? Auf dieser Seite geht es darum, Kugeln einer Sorte möglichst dicht zu packen. Da sind Lücken weniger wichtig. Später wird es um die Kristallstrukturen von Verbindungen gehen. Dort werden Kugeln mehrerer Sorten (zum Beispiel positiv und negativ geladene Ionen) gepackt. Um solche Strukturen zu verstehen, ist es notwendig, Zahl, Lage und Größe der Lücken zu verstehen.

Mehr über Strukturen, die durch das Füllen der Lücken in dichtesten Kugelpackungen entstehen, erfahren Sie in Kapitel 7.4. (Ionenkristalle), in Kapitel 7.5. (Fehlordnung und verwandte Phänomene), in Kapitel 7.6. (Legierungen und Co – demnächst) und in Kapitel 7.10. (Vielfalt der Kristalle).

Was ist eine Tetraederlücke ?

In Bild 3 auf dieser Seite (es ging um den Aufbau der zweiten Kugelschicht) haben Sie gesehen, dass in einer Ebene Kugeln liegen, und dass in die Mulde, die 3 solcher Kugeln bilden, eine vierte gelegt wird. Aus der Mulde ist so ein räumliches Gebiet geworden, dass von 4 Kugeln begrenzt wird. Es ist also eine Lücke.

 

 

Wie viele Tetraederlücken gibt es ?

Dazu werden wir untersuchen, zu wievielen Tetraedern (und damit auch Tetraederlücken) eine gegebene Kugel gehört, das heißt, an wievielen Tetraedern sie beteiligt ist. Diese Kugel ist auf den Bildern der linken Spalte immer undurchsichtig und dunkelblau.

 

 

 

 

 

Wir wissen aber noch nicht, wieviele Tetraederlücken es gibt. Das ist aber leicht herauszufinden. Betrachten wir dazu eine Gruppe aus n Kugeln. Da jede Kugel an 8 Tetraedern beteiligt ist, kann man 8n Tetraeder konstruieren. Nun müssen wir nur noch beachten, dass wir jeden Tetraeder 4 mal konstruiert haben, denn er hat ja 4 Kugeln, und bei jeder dieser Kugeln haben wir ihn konstruiert. Die Gesamtzahl der Tetraeder muss also durch 4 geteilt werden, und wir erhalten 2n Tetraeder.

Eine Gruppe aus n Kugeln hat 2n Tetraederlücken. Es gibt also doppelt so viele Tetraederlücken wie Kugeln (=Atome).

Sehen Sie sich in einer JSmol–Visualisierung die Konstruktion der Tetraederlücken an. Rufen Sie die Jsmol–Visualisierung auf und ändern Sie Größe und Transparenz der Kugeln, so dass Ihnen die Szene übersichtlich erscheint. Blenden Sie die Tetraeder ein und wieder aus, und füllen Sie sie mit kleinen roten Kugeln. Betrachten Sie die Szene aus vielen Richtungen.

Wo liegen die Tetraederlücken ?

Es geht in diesem Abschnitt um die Frage, wie die Tetraederlücken in Bezug auf ein gegebenes Atom angeordnet sind. Naja, sie liegen drumherum. Kann man Genaueres sagen, wie sie um ein Atom herum angeordnet sind ? Ja, natürlich kann man das.

Sehen Sie sich dazu Bild 26 an. Es enthält (neben dem gegebenen Atom und seinen Nachbarn) 8 Tetraeder. In ihrem Innern sind die 8 Tetraederlücken, die das Atom umgeben. Im folgenden werden wir die Tetraederlücken durch kleine, rote Kugeln darstellen, die jeweils im Schwerpunkt der Lücke liegen.

 

 

 

 

 

 

Insgesamt können wir festhalten : Jede Kugel der kubisch–dichtesten Kugelpackung wird von 8 Tetraederlücken umgeben. Die Lücken umgeben die Kugel in Form eines Würfels. Dies ist (im Gegensatz zur hexagonal–dichtesten Kugelpackung) ein ziemlich symmetrischer Körper, und es ist leicht zu sehen, dass alle Schwerpunkte der Tetraederlücken (also alle roten Kugeln) denselben Abstand von der blauen Mittelkugel haben, nämlich das 1,2247–fache des Radius dieser Kugel. Die Berechnung dieser Zahl können Sie weiter unten nachlesen, in der mathematischen Beschreibung der Kugelpackung, in Abschnitt 7.2.3.8.

Sehen Sie sich in einer JSmol–Visualisierung den Würfel an, den die Schwerpunkte der Tetraederlücken rund um eine Kugel bilden. Rufen Sie die JSmol–Visualisierung auf und ändern Sie Größe und Transparenz der Kugeln, so dass Ihnen die Szene übersichtlich erscheint. Blenden Sie den Würfel in mehreren Schritten ein und wieder aus. Wenn Sie wollen, können Sie auch die Tetraeder ein– und ausblenden, jedoch kann dies die Szene unübersichtlich machen. Betrachten Sie die Szene aus vielen Richtungen. Aus „Richtung 1” sehen Sie den Würfel aus einer gewohnten Richtung.

7.3.2.5. Oktaederlücken

Die Besprechung der Oktaederlücken erfolgt in Analogie zu den Tetraederlücken. Sie werden hier wie dort dieselben Argumentationslinien finden. Ich werde aber nicht auf den Abschnitt über die Tetraederlücken verweisen und einfach sagen „Sehen Sie doch dort nach, wie die Zusammenhänge sind”, sondern auch die Oktaederlücken in der gewohnten Art behandeln, und mich damit zwangsweise öfter wiederholen.

Wie die Tetraederlücken sind auch die Oktaederlücken Lücken zwischen den Atomen zweier Schichten. Da das Aufeinanderlegen von 2 Atomschichten bei der hexagonal–dichtesten und der kubisch–dichtesten Kugelpackung identisch ist (Unterschiede finden sich erst in der dritten Schicht), ist dieser Abschnitt dem analogen Abschnitt der hexagonal–dichtesten Kugelpackung identisch.

Was ist eine Oktaederlücke ?

 

 

 

 

 

Jede weiße Markierung ist ein Gebiet zwischen Atomen. Sie ist von 6 Atomen oktaederförmig umgeben. Daher nennt man sie eine Oktaederlücke. Sehen Sie sich die Oktaederlücken in einer JSmol–Visualisierung an. Bauen Sie die Oktaederlücken wie in der Beschreibung dieses Abschnitts schrittweise auf. Betrachten Sie die Szene aus verschiedenen Richtungen.

Wie viele Oktaederlücken gibt es ?

Dazu werden wir untersuchen, zu wievielen Oktaedern (und damit auch Oktaederlücken) eine gegebene Kugel gehört, das heißt, an wievielen Oktaedern sie beteiligt ist. Diese Kugel ist auf den Bildern der linken Spalte immer undurchsichtig und dunkelblau.

 

 

 

 

Wir wissen aber noch nicht, wieviele Oktaederlücken es gibt. Das ist leicht herauszufinden. Betrachten wir dazu eine Gruppe aus n Kugeln. Da jede Kugel an 6 Oktaedern beteiligt ist, kann man 6n Oktaeder konstruieren. Nun müssen wir nur noch beachten, dass wir jeden Oktaeder 6 mal konstruiert haben, denn er hat ja 6 Kugeln, und bei jeder dieser Kugeln haben wir ihn konstruiert. Die Gesamtzahl der Oktaeder muss also durch 6 geteilt werden, und wir erhalten n Oktaeder.

Eine Gruppe aus n Kugeln hat n Oktaederlücken. Es gibt also genauso viele Oktaederlücken wie Kugeln (=Atome).

Sehen Sie sich in einer JSmol–Visualisierung die Konstruktion der Oktaederlücken an. Rufen Sie die JSmol–Visualisierung auf und ändern Sie Größe und Transparenz der Kugeln, so dass Ihnen die Szene übersichtlich erscheint. Blenden Sie die Oktaeder ein und wieder aus, und füllen Sie sie mit grünen Kugeln. Betrachten Sie die Szene aus vielen Richtungen.

• In Richtung 2 betrachten Sie die Szene von schräg. Sie sehen alle 6 Oktaeder „aufrecht stehend”, so wie man Oktaeder aus Büchern oder Formelsammlungen kennt.
• In Richtung 1 und Richtung 3 sehen Sie die Szene von der Seite, und gekippt. Die Oktaeder sind leicht zu erkennen.
• Auch in Richtung 4 sehen Sie die Szene von der Seite, ähnlich den Bildern dieses Abschnitts.

Wo liegen die Oktaederlücken ?

Sehen Sie sich zuerst Bild 37 an. Es enthält (neben mehreren Atomen) 6 Oktaeder. In ihrem Innern sind die 6 Oktaederlücken, die das Atom umgeben. Im folgenden werden wir die Oktaederlücken durch grüne Kugeln darstellen, die jeweils im Schwerpunkt der Lücke liegen.

 

 

 

 

 

Insgesamt können wir festhalten : Jede Kugel der kubisch–dichtesten Kugelpackung wird von 6 Oktaederlücken umgeben. Die Lücken umgeben die Kugel in Form eines Oktaeders. Alle Schwerpunkte der Oktaederlücken haben denselben Abstand von der gegebenen Kugel, nämlich das 1,4142–fache des Radius dieser Kugel. Die Berechnung dieser Zahl können Sie weiter unten nachlesen, in der mathematischen Beschreibung der Kugelpackung, in Abschnitt 7.2.3.9. Die Oktaederlücken sind also viel größer als die Tetraederlücken.

Sehen Sie sich in einer JSmol–Visualisierung den Oktaeder an, den die Schwerpunkte der Oktaederlücken rund um eine Kugel bilden. Rufen Sie die JSmol–Visualisierung auf und ändern Sie Größe und Transparenz der Kugeln, so dass Ihnen die Szene übersichtlich erscheint. Blenden Sie den Oktaeder ein und wieder aus. Wenn Sie wollen, können Sie auch die Oktaederlücken ein– und ausblenden, jedoch kann dies die Szene unübersichtlich machen. Betrachten Sie die Szene aus vielen Richtungen. Insbesondere „Richtung 5” zeigt den Oktaeder deutlich.

7.3.2.6. Vertreter

In der kubisch–dichtesten Kugelpackung kristallisieren Edelgase und Metalle. Bei Normalbedingungen (T = 25°C, p = 1 bar) gehören dazu die unten Aufgezählten.

• 2. Hauptgruppe (Gruppe 2): Calcium, Strontium
• 3. Nebengruppe (Gruppe 3): Actinium
• 8. Nebengruppe (Gruppen 8, 9 und 10): Nickel, Rhodium, Palladium, Iridium, Platin
• 1. Nebengruppe (Gruppe 11): Kupfer, Silber, Gold
• 3. Hauptgruppe (Gruppe 13): Aluminium
• 4. Hauptgruppe (Gruppe 14): Blei
• 8. Hauptgruppe (Gruppe 18): Helium, Neon, Argon, Krypton, Xenon
• Lanthaniden : Ytterbium
• Actiniden : Thorium

Ich habe die Liste aus dem PSE von Mark Winter (Lit. L–122) zusammengestellt. Dort finden Sie auch zu jedem Element Nachweise von Originalliteratur zur Kristallstruktur.

7.3.2.7. Elementarzelle und Atompositionen

Die Bilder in den vorigen Abschnitten haben Ihnen einen anschaulichen Eindruck von der kubisch–dichtesten Kugelpackung gegeben, und vielleicht können Sie sich nun diese Packung ganz leicht vor Ihrem geistigen Auge vorstellen, ihren Aufbau aus Kugeln, und den Tetraederlücken und Oktaederlücken dazwischen.

In den folgenden Unterabschnitten wird es um eine möglichst exakte Beschreibung der kubisch–dichtesten Kugelpackung gehen, entsprechend Kapitel 7.1.3. bis Kapitel 7.1.6. Diese Beschreibung erfolgt zwar mathematisch, aber immer graphisch unterstützt.

Als erstes werde ich die Elementarzelle vorstellen und die Atompositionen benennen (mehr zu diesen Begriffen in Kapitel 7.1.3).

Wie sieht die Elementarzelle aus ?

Die Elementarzelle sieht aus wie in Bild 43. Sie sehen deutlich, dass die Elementarzelle ein Würfel ist. An jeder der 8 Würfelecken ist ein Atom. 4 weitere Atome liegen gut erkennbar auf den Mittelpunkten der Würfelfächen. 2 Atome scheinen frei im Raum zu schweben – sie liegen auf den Mittelpunkten der vorderen und der hinteren Würfelfläche.

Schon in Abschnitt 7.3.2.2. hatten Sie diese Elementarzelle kennen gelernt. Dort können Sie sie in den Bildern 15 und 16 sehen. Die Kugeln an den Würfelecken sind blau markiert, und die an den Flächenmittelpunkten mattgrün.

Wieviele Atome enthält die Elementarzelle ?

In Bild 43 sehen Sie, dass an jeder der 8 Ecken des Würfels ein Atom sitzt. Daraus ergibt sich, dass die Elementarzelle erst mal ein Atom enthält. 6 weitere Atome sind in den Mitten der Würfelflächen. Für die Elementarzelle ergeben sich 3 weitere Atome.

Eine Begründung für die beiden Folgerungen (ein bzw. 3 Atome) finden Sie in Kapitel 7.1.3.4.

Insgesamt enthält die Elementarzelle der kubisch–dichtesten Kugelpackung also 4 Atome.

Sehen Sie sich in einer JSmol–Visualisierung die Elementarzelle an.

Wie groß ist die Elementarzelle ?

Das kommt darauf an, wie groß die Kugeln sind, werden Sie jetzt vielleicht sagen. Und da haben Sie Recht.

Hier soll es aber nicht um die absolute Größe der Elementarzelle gehen (die man zum Beispiel in Picometern messen könnte), sondern um die Größe der Elementarzelle im Verhältnis zur Größe der Kugeln, aus denen sie aufgebaut ist. Dazu reicht es, die Kantenlänge a des Würfels zu kennen, denn die Gesamtgröße (das Volumen also) kann man daraus schnell zu a³ berechnen.

Im Folgenden werde ich den Radius der Kugeln r nennen.

Ein naiver Gedanke. – An 2 benachbarten Würfelecken liegt je eine Kugel mit dem Radius r. Und weil es ja eine dichteste Kugelpackung ist, liegen die Kugeln dicht an dicht. Der Abstand der beiden Ecken ist also das Doppelte des Kugelradius. Es muss gelten : a = 2 r.

Eine bessere Argumentation. – Schon beim Betrachten von Bild 43 kann der Gedanke entstehen, dass die Idee vom vorigen Absatz allzu naiv war. Der Abstand einer Kugel an einer Würfelecke zu einer Kugel in der Flächenmitte ist kleiner als der zur Nachbar–Eckkugel.

 

Demnächst bearbeite ich diesen Abschnitt weiter.

Es kann aber noch etwas dauern.

 

7.3.2.8. Tetraederlücken – Beschreibung mit Mathematik

Wie groß sind die Tetraederlücken ?

Es geht hier nicht darum, das Volumen des Raumes zwischen den 4 Kugeln, die die Lücke umgeben, mit allen seinen Ausbuchtungen und Verzweigungen zu berechnen. Vielmehr will man wissen, wie groß eine Kugel höchstens sein darf, um in eine Tetraederlücke zu passen. Grund dieses Interesses ist, dass sich von der kubisch–dichtesten Kugelpackung eine Menge anderer Kristallstrukturen ableiten, bei denen Tetraederlücken mit anderen Atomen gefüllt sind.

• mehr über das Befüllen von Tetraederlücken

 

 

 

Nun sollten wir uns Gedanken über den Mittelpunkt M der roten Kugel machen. 2 Fragen stellen sich :

• Warum ist die Kugel so klein ? Rechts unten auf der Zeichnung in Bild 24 ist doch noch viel Platz. Warum breitet sie sich nicht dorthin aus ?
• Wo liegt M im Tetraeder ?

Hier sind die Antworten.

• Vom Punkt C aus gesehen, liegen vor und hinter der Bildschirmebene noch 2 Kugeln, die Ecken des Tetraeders sind. In Bild 23 sehen Sie das deutlich, gemeint sind die beiden durchsichtigen Kugeln. Es ist zwar in der Bildschirmebene rechts unten Platz, nicht aber im Raum. Die rote Kugel kann nicht größer sein.
• M ist von allen Eckpunkten des Tetraeders gleichweit entfernt. Man nennt den M den Schwerpunkt des Tetraeders.

Die Berechnung von r_L ist nun einfach. Wir nutzen aus, dass der Schwerpunkt M des Tetraeders die Höhe im Verhältnis 3:1 teilt. Für die Länge d_BM der Strecke BM gilt also d_BM = 3/4 ∗ d_h. Es folgt d_BM = 3/4 ∗ sqrt(2/3) ∗ 2 ∗ r_K = 1,2247 ∗ r_K. Andererseits gilt d_BM = r_K + r_L. Aus den beiden vorigen Gleichungen erhält man 1,2247 ∗ r_K = r_K + r_L und daraus r_L = 0,2247 ∗ r_K.

Damit ist die Frage nach der Größe der Tetraederlücke beantwortet. Besteht die kubisch–dichteste Kugelpackung aus Kugeln mit dem Radius r, so haben die tetraedrischen Lücken einen Radius von r_L = 0,2247 ∗ r.

 

Demnächst bearbeite ich diesen Abschnitt weiter.

Es kann aber noch etwas dauern.

 

7.3.2.9. Oktaederlücken – Beschreibung mit Mathematik

Wie groß sind die Oktaederlücken ?

Wieder steht die Frage im Mittelpunkt, wie groß eine Kugel höchstens sein darf, um in eine Oktaederlücke zu passen. Grund dieses Interesses ist, dass sich von der hexagonal–dichtesten Kugelpackung eine Menge anderer Kristallstrukturen ableiten, bei denen Oktaederlücken mit anderen Atomen gefüllt sind.

• mehr über das Befüllen von Oktaederlücken

 

 

 

Die Berechnung von r_L ist nun einfach. Betrachte dazu das Dreieck ABM. Nach dem Satz von Pythagoras gilt d_AM² + d_AM² = d_AB².
Es folgt (r_K + r_L)² + (r_K + r_L)² = (2r_K)².
Daraus folgt 2 r_K² + 4 r_kr_L + 2 r_L² = 4 r_K².
Weiter folgt 2 r_L² + 4 r_kr_L – 2 r_K² = 0
und r_L² + 2 r_kr_L – r_K² = 0.
Nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen folgt
r_L = – r_k ± sqrt(2 r_K²).
Eine der beiden Lösungen ist negativ. Sie wird verworfen. Die andere lautet
r_L = – r_k + sqrt(2) ∗ r_K = r_K ∗ (sqrt(2)–1) = 0,4142 ∗ r_K.

Damit ist die Frage nach der Größe der Oktaederlücke beantwortet. Besteht die kubisch–dichteste Kugelpackung aus Kugeln mit dem Radius r, so haben die oktaedrischen Lücken einen Radius von r_L = 0,4142 ∗ r. Sie sind also wesentlich größer als die tetraedrischen Lücken.

 

Demnächst bearbeite ich diesen Abschnitt weiter.

Es kann aber noch etwas dauern.

 

7.3.2.10. Atomumgebungen und Nachbarn – Beschreibung mit Mathematik

 

Demnächst bearbeite ich diesen Abschnitt weiter.

Es kann aber noch etwas dauern.

 

7.3.2.11. Alle JSmol–Visualisierungen dieser Seite im Überblick

• Der Aufbau der kubisch–dichtesten Kugelpackung
• Warum die kubisch–dichteste Packung kubisch heißt
• Eine einzelne Tetraederlücke
• Anordnung der Tetraederlücken rund um ein Atom
• Die Tetraederlücken rund um ein Atom bilden einen Würfel
• Schnitt durch eine Tetraederlücke
• Konstruktion einer Oktaederlücke
• Anordnung der Oktaederlücken rund um ein Atom
• Die Oktaederlücken rund um ein Atom bilden einen Oktaeder
• Schnitt durch eine Oktaederlücke
• Die Elementarzelle

Infobereich

Alle Bilder dieser Seite : Lizenz CC–BY–SA–4.0. Bildnachweis und Lizenzinfo.
Text : Lizenz CC–BY–SA–4.0. Lizenzinfo.

 

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