Die kubisch–dichteste Kugelpackung

Kleine Vorrede

Wenn Sie diese Seite mit der über die hexagonal–dichteste Kugelpackung vergleichen, werden Sie eine frappierende Ähnlichkeit feststellen. Das ist Absicht. Beide Kugelpackungen sind sehr ähnlich, aber ich verweise nicht von dieser auf die andere Seite und sage „Lesen Sie doch dort”, sondern stelle alle Aspekte der kubisch–dichtesten Packung ausführlich und im Zusammenhang dar, wie Sie es von mir gewohnt sind. Der copy–Befehl ist mein Freund. Natürlich gibt es auch Unterschiede zwischen den beiden Seiten, nämlich dort, wo es Unterschiede zwischen den beiden Packungen gibt. Finden Sie sie heraus.

Worum geht es ?

Es geht darum, wie Metalle und Edelgase kristallisieren. Wir benutzen dazu nicht das Modell der Metallbindung und des Elektronengases nach Drude, sondern ein einfacheres Modell. Metallatome sind in diesem Modell feste, starre und gleichgroße Kugeln. Sie können sie mit Tischtennisbällen oder den Kugeln eines Kugellagers vergleichen. In ein gegebenes Volumen sollen möglichst viele solcher Kugeln hineingepackt werden. Wie sind sie dann angeordnet, und welche Eigenschaften hat eine solche Anordnung von Kugeln ?

Im einzelnen geht auf dieser Seite um

Kugelpackungen

 

Blick von oben auf eine Schicht Kugeln.

In diesem Abschnitt geht es darum, wie man Kugeln möglichst dicht packt. Der erste Schritt ist wirklich einfach. In eine Ebene wird eine Schicht Kugeln hingelegt. Das sieht dann so aus wie auf dem Bild links. Sie sehen von oben auf die Kugelschicht. Die Kugeln liegen in Reihen, die jeweils um eine halbe Kugellänge gegeneinander versetzt sind.

Starten Sie die Jmol–Visualisierung, in der Sie den Aufbau der hexagonal–dichtesten Kugelpackung in 10 Schritten nachvollziehen können, entsprechend den Bildern im linken Teil dieser Seite.

 

Blick von oben auf eine Schicht Kugeln mit schwarz und weiß markierten Mulden.

Auch der zweite Schritt ist einfach. Auf die erste Schicht kommt eine zweite Schicht Kugeln. Natürlich legt man sie in die Mulden, die aus jeweils 3 Kugeln der ersten Schicht gebildet werden. Diese Mulden sind im zweiten Bild auf der linken Seite markiert. Einige habe ich schwarz markiert, die anderen weiß. Und warum ?

 

Auf einer schwarzen Markierung liegt die erste Kugel der zweiten Schicht.

Das sehen Sie, wenn die erste Kugel der zweiten Schicht gelegt wird. Ich habe sie auf eine schwarze Markierung gelegt. Die neue Kugel ist durchsichtig, damit Sie die Kugeln darunter und besonders die schwarze Markierung noch sehen können. Auf die benachbarten weißen Markierungen kann man nun keine Kugeln mehr legen. Sie sind zu nah an der schon liegenden Kugel. Erst auf die nächstfolgenden schwarzen Markierungen können wieder Kugeln gelegt werden.

 

Alle 3 Kugeln der zweiten Schicht liegen über den schwarzen Markierungen.

Reden wir nicht nur davon, tun wir es. Auf dem Bild links sind 2 weitere Kugeln der zweiten Schicht angekommen. Wie die zuvor dazugekommene Kugel sind auch die beiden neuen durchsichtig. Sie sehen, dass sie auf den schwarzen Markierungen liegen. Und sicher ist Ihnen schon klar, dass alle Kugeln der zweiten Schicht auf den schwarzen Markierungen liegen werden, und keine auf den weißen.

 

Alle Kugeln der zweiten Schicht liegen über den schwarzen Markierungen.

Die zweite Kugelschicht ist nun vollständig. Niemand wird es wundern : alle Kugeln dieser Schicht liegen in den Mulden zwischen jeweils 3 Kugeln der ersten Schicht, und alle liegen auf den schwarzen Markierungen.

 

Von der dritten Schicht ist erst eine Kugel da.

Nun geht es an die dritte Schicht. Wo können die Kugeln dieser Schicht liegen ? Natürlich in den Mulden von jeweils 3 Kugeln der zweiten Schicht. Wie schon 4 Absätze weiter oben gibt es wieder 2 Möglichkeiten. Entweder können die neuen Kugeln über den weißen Markierungen liegen, die auf den Bildern links ja immer noch sichtbar sind. Oder sie können in den nicht markierten Mulden liegen, dort, wo die Kugeln der ersten Schicht durchscheinen. Bei der kubisch–dichtesten Kugelpackung wird die erste Möglichkeit realisiert. (Die andere Möglichkeit finden Sie in der hexagonal–dichtesten Kugelpackung.) Die Kugeln der dritten Schicht liegen genau über den weißen Markierungen. Im Bild links ist erstmal eine einzige Kugel in der dritten Schicht angekommen. Sie ist durchsichtig, und so können Sie gut sehen, dass sie weder über einer Kugel der ersten Schicht noch über einer der zweiten Schicht liegt. Vielmehr liegt sie über einer weißen Markierung.

 

Alle 5 Kugeln der dritten Schicht liegen über einer weißen Markierung.

Die dritte Schicht wächst. Sie umfasst nun 5 Kugeln. Alle 5 liegen weder über der ersten noch der zweiten Schicht, sondern über weißen Markierungen. Die Kugeln der dritten (und später der vierten) Schicht haben eine rötliche Farbe. Der einzige Grund ist, sie optisch besser von den Kugeln der anderen Schichten unterscheiden zu können. In der Realität sind es natürlich Atome desselben Elements, die sich nicht weiter unterscheiden.

 

Die dritte Schicht ist vollständig.

Die dritte Schicht ist nun vollständig. Jede Kugel dieser Schicht liegt über einer weißen Markierung.

 

Die Kugeln der vierten Schicht liegen genau über denen der ersten Schicht.

Wo wird die vierte Schicht hingelegt ? Alle schwarzen und weißen Markierungen sind von den Kugeln der zweiten und dritten Schicht belegt. Den Kugeln der vierten Schicht bleibt nichts anderes übrig, als sich direkt über Kugeln einer anderen Schicht zu legen. Sie liegen genau über denen der ersten Schicht. Auf dem Bild links ist das nicht allzu gut zu erkennen. Besser sehen Sie in der Jmol–Visualisierung oder auf dem nächsten Bild.

 

4 Schichten von Kugeln liegen übereinander. Die Ansicht ist jetzt nicht von oben wie bei den vorigen Bildern, sondern von der Seite.

Die Ansicht von oben im vorigen Bild war ja nicht sehr übersichtlich. Hier sehen Sie dieselbe Szene, aber von der Seite. Es ist jetzt wirklich nicht mehr zu übersehen, wo die Kugeln der vierten Schicht liegen – genau über denen der ersten Schicht.

 

6 Schichten von Kugeln liegen übereinander. Wer über wem liegt, ist deutlich zu erkennen.

Wo werden die Kugeln der folgenden Schichten wohl liegen ? Sie sehen es auf dem Bild links.

Das Prinzip der kubisch–dichtesten Kugelpackung ist nun klar. Die nächsten Schichten werden genauso auf die vorhandenen gelegt wie bisher. Über der ersten Schicht liegt die vierte, über der zweiten die fünfte, über der dritten die sechste, und so weiter.

 

Sie können den Aufbau der kubisch–dichtesten Kugelpackung in 10 Schritten, entsprechend den Bildern im linken Teil dieser Seite, in einer Jmol–Visualisierung nachvollziehen.

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Warum heißt diese Packung kubisch ?

In vielen Schritten haben wir die kubisch–dichteste Kugelpackung aufgebaut, aber einen Würfel haben wir noch nicht gesehen. Wieso also heißt diese Packung kubisch ?

Tatsächlich ist in der Packung ein Würfel verborgen. Er ist nicht so einfach zu finden und freizulegen, und wir werden im Folgenden mehrere Schritte dazu benötigen. Aber dieser gut versteckte Würfel kann doch nicht der ganze Grund für den Namen sein. Ob da noch mehr dahintersteckt ?

Ja, klar. Dieser Würfel bildet die Elementarzelle der kubisch–dichtesten Kugelpackung. Und das ist nun wirklich Grund genug für den Namen.

Wir legen den Würfel frei

 


In den Schichten der kubisch–dichtesten Kugelpackung ist ein Würfel enthalten. Er liegt schräg in den Schichten, und er erstreckt sich über 4 Schichten.

Betrachten Sie dazu am besten die Jmol–Visualisierung. Zu Beginn sehen Sie 6 Schichten von Kugeln. Nach dem ersten Schritt (klicken Sie dazu einmal auf den Knopf „Würfel freilegen”) werden die Schichten unterschiedlich eingefärbt. Im nächsten Schritt werden die 6 Schichten in eine geschickte Position gedreht, und im dritten Schritt verschwindet die oberste Schicht bis auf ein Atom, das wir noch brauchen.

Im vierten Schritt erscheint der Würfel. Die Atome an seinen Ecken sind nun blau gefärbt. Mittig auf den Flächen des Würfels liegen insgesamt 6 mattgrüne Atome. Im nächsten Schritt verschwinden einige Atome der zweiten Schicht von oben, so dass Sie den Würfel besser sehen können. Im sechsten und letzten Schritt werden die Ecken des Würfels miteinander verbunden.

Können Sie den Würfel jetzt wirklich gut erkennen ? Oder doch nicht so richtig ? Dann ändern Sie doch die Atomgröße. Sie können dann viel besser in das Innere der Schichten hineinsehen. Und betrachten Sie ihn aus anderen Richtungen, zum Beispiel aus „Richtung 1”. Jetzt sehen Sie deutlich, dass er sich über 4 Schichten erstreckt. Eine Kugel liegt außerhalb aller Schichten. Sie gehört zu der obersten Schicht, die schon im ersten Schritt verschwunden ist. Die 3 mit dieser Kugel verbundenen Kugeln liegen in der nächsten Schicht, weitere 3 Kugeln in der folgenden, und eine letzte Kugel noch eine Schicht tiefer. In den beiden Bildern links ist diese Situation gezeigt.

 

So ganz nebenbei haben wir noch etwas Wichtiges herausgefunden. Auf allen Flächenmitten des Würfels liegt eine weitere Kugel. Der Würfel ist also flächenzentriert. Es liegt eine kubisch–flächenzentrierte Kugelpackung vor.

Die kubisch–flächenzentrierte Kugelpackung ist dasselbe wie die kubisch–dichteste Kugelpackung.

Der zweite Grund

Es gibt übrigens noch einen zweiten Grund für den Namen.

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Lücken zwischen den Atomen

Sie wissen jetzt, wie die Atome gepackt sind. Aber was ist zwischen den Atomen ? Nichts. Naja, darüber kann man diskutieren. Aber auf jeden Fall ist dort Platz. Man nennt den Raum zwischen den Atomen eine Lücke. In der kubisch–dichtesten Kugelpackung gibt es 2 Arten von Lücken, nämlich die Tetraederlücken und die Oktaederlücken.

Sind Lücken wichtig ?

Würde ich sonst darüber schreiben ? Auf dieser Seite geht es darum, Kugeln einer Sorte möglichst dicht zu packen. Da sind Lücken weniger wichtig. Später wird es um die Kristallstrukturen von Verbindungen gehen. Dort werden Kugeln mehrerer Sorten (zum Beispiel positiv und negativ geladene Ionen) gepackt. Um solche Strukturen zu verstehen, ist es notwendig, Zahl, Lage und Größe der Lücken zu verstehen.

Tetraederlücken

Was ist eine Tetraederlücke ?

Im dritten Bild auf dieser Seite (es ging um den Aufbau der zweiten Kugelschicht) haben Sie gesehen, dass in einer Ebene Kugeln liegen, und dass in die Mulde, die 3 solcher Kugeln bilden, eine vierte gelegt wird. Aus der Mulde ist so ein räumliches Gebiet geworden, dass von 4 Kugeln begrenzt wird. Es ist also eine Lücke.

 

4 Kugeln bilden einen Tetraeder, in seinem Innern ist die Tetraeder­lücke, gefüllt mit einem roten Atom.

Das Bild links zeigt eine solche Gruppe aus 4 Kugeln. Gemeint sind die 4 großen, kupferfarbenen Kugeln. Sie sind durchsichtig, damit Sie den Aufbau der Tetraederlücken besser erkennen können. Verbindet man die Mittelpunkte der 4 Kugeln, erhält man einen Tetraeder. Er ist mit eingezeichnet. Einige seiner Kanten scheinen stärker durch, andere schwächer, je nachdem, wie viele Kugeln zwischen ihm und dem Beobachter sind. Konsequenterweise heißt die Lücke im Innern des Tetraeders Tetraederlücke.

Im Innern der Tetraederlücke befindet sich eine kleine, undurchsichtige, rote Kugel. Der Grund ist nicht nur, die Lücke deutlicher sichtbar zu machen, sondern sie gibt auch einen Hinweis auf die Funktion von Lücken in Verbindungen.

Sehen Sie die Tetraederlücken in einer kleinen Jmol–Visualisierung an.

 

Wie viele Tetraederlücken gibt es ?

Dazu werden wir untersuchen, zu wievielen Tetraedern (und damit auch Tetraederlücken) eine gegebene Kugel gehört, das heißt, an wievielen Tetraedern sie beteiligt ist. Diese Kugel ist auf den Bildern der linken Spalte immer undurchsichtig und dunkelblau.

 

Die dunkelblaue Kugel und ihre Nachbarn, von oben gesehen.

Im ersten Schritt liegt die gegebene Kugel in der Mitte. Sie ist, wie alle Kugeln dieser und der folgenden Szenen, verkleinert, da Sie nur so alle Kugeln und die Tetraeder gut erkennen können. Die Mittelkugel ist von ihren 6 Nachbarn in der gleichen Schicht umgeben. Diese 6 Nachbarn sind kupferfarben (braun) und undurchsichtig. In 3 Mulden, die von der Mittelkugel und je 2 Nachbarkugeln gebildet werden, liegt je eine weitere Kugel. Diese 3 Kugeln liegen also in der oberen Schicht. Sie sind ebenfalls kupferfarben, aber fast völlig durchsichtig. Unterhalb der Schicht aus der blauen Mittelkugel und den 6 undurchsichtigen Nachbarn liegen noch einmal 3 Kugeln. Diese 3 Kugeln sind kupferfarben und halb durchsichtig. Jede dieser 3 Kugeln liegt in einer Mulde aus 3 Kugeln, jedoch können Sie diese Mulden nicht gut erkennen. Sie betrachten die Szene von oben.

 

Dieselbe Szene wie im vorigen Bild, aber von vorn gesehen und mit 3 Tetraedern erweitert.

Das Bild links zeigt fast dieselbe Szene wie das vorige, aber von vorn gesehen. Sie erkennen wieder die dunkelblaue Mittelkugel, die 6 kupferfarbenen, undurchsichtigen Nachbarn derselben Schicht und je 3 kupferfarbene, durchsichtige Nachbarn in der oberen und der unteren Schicht. Beachten Sie, dass, im Gegensatz zur hexagonal–dichtesten Packung, die Kugeln der oberen und der unteren Schicht nicht übereinander liegen.

Und die ersten 3 Tetraeder, an denen die Mittelkugel beteiligt ist, sind dazugekommen. Jeder dieser Tetraeder hat die Mittelkugel als Eckpunkt, ist ja klar. Jeder dieser Tetraeder hat außerdem 2 Kugeln der mittleren Schicht als Eckpunkte. Der vierte Eckpunkt schließlich ist die Kugel, die in der Mulde liegt, die die 3 vorigen Kugeln bilden, und die natürlich in der oberen Schicht liegt.

 

Inzwischen enthält die Szene 6 Tetraeder, an denen die Mittelkugel beteiligt ist.

Analog zum vorigen Absatz lassen sich auch mit den Kugeln der unteren Schicht 3 weitere Tetraeder konstruieren. Wieder hat jeder Tetraeder sowohl die Mittelkugel, 2 Kugeln der mittleren und eine der unteren Schicht als Ecken. Da die Kugeln der unteren Schicht nicht über denen der oberen Schicht liegen, liegen auch die neuen, schokoladenbraunen Tetraeder nicht direkt unter den alten, orangenen Tetaredern, sondern sind (natürlich neben der Spiegelung an der Ebene der mittleren Schicht) noch um 60 Grad gedreht.

 

Nun ist es klar. Die Mittelkugel ist an 8 Tetraedern beteiligt.

Zwei hab ich noch. Bei einem der beiden restlichen Tetraeder bildet die Mittelkugel eine Ecke. Die Basis bilden die 3 durchsichtigen Kugeln der oberen Schicht. Der letzte ist spiegelverkehrt dazu und um 60 Grad gedreht. Seine Ecken sind die Mittelkugel und die 3 durchsichtigen Kugeln der unteren Ebene. Diese 2 Tetraeder sind gelb eingezeichnet.

Die Anfangsfrage ist nun beantwortet. Jede Kugel ist an 8 Tetraedern beteiligt.

 

Wir wissen aber noch nicht, wieviele Tetraederlücken es gibt. Das ist aber leicht herauszufinden. Betrachten wir dazu eine Gruppe aus n Kugeln. Da jede Kugel an 8 Tetraedern beteiligt ist, kann man 8n Tetraeder konstruieren. Nun müssen wir nur noch beachten, dass wir jeden Tetraeder 4 mal konstruiert haben, denn er hat ja 4 Kugeln, und bei jeder dieser Kugeln haben wir ihn konstruiert. Die Gesamtzahl der Tetraeder muss also durch 4 geteilt werden, und wir erhalten 2n Tetraeder.

Eine Gruppe aus n Kugeln hat 2n Tetraederlücken. Es gibt also doppelt so viele Tetraederlücken wie Kugeln (=Atome).

Sehen Sie sich in einer Jmol–Visualisierung die Konstruktion der Tetraederlücken an. Rufen Sie die Jmol–Visualisierung auf und ändern Sie Größe und Transparenz der Kugeln, so dass Ihnen die Szene übersichtlich erscheint. Blenden Sie die Tetraeder ein und wieder aus, und füllen Sie sie mit kleinen roten Kugeln. Betrachten Sie die Szene aus vielen Richtungen.

Wo liegen die Tetraederlücken ?

Es geht in diesem Abschnitt um die Frage, wie die Tetraederlücken in Bezug auf ein gegebenes Atom angeordnet sind. Naja, sie liegen drumherum. Kann man Genaueres sagen, wie sie um ein Atom herum angeordnet sind ? Ja, natürlich kann man das.

Sehen Sie sich dazu das vorige Bild an. Es enthält (neben dem gegebenen Atom und seinen Nachbarn) 8 Tetraeder. In ihrem Innern sind die 8 Tetraederlücken, die das Atom umgeben. Im folgenden werden wir die Tetraederlücken durch kleine, rote Kugeln darstellen, die jeweils im Schwerpunkt der Lücke liegen.

 

Fangen wir mit einem der orangen Tetraeder und der roten Kugel in seinem Innern an. Es ist derjenige, der auf dem vorigen Bild links vorn ist. Nun suchen wir die nächsten Nachbarn dieser Kugel. Es sind nicht diejenigen in derselben Schicht (die also auch im Innern der orangen Tetraeder liegen würden). 2 der nächsten Nachbarn finden wir vielmehr in der unteren Schicht (also im Innern der schokoladenbraunen Tetraeder), den dritten direkt über der blauen Mittelkugel (also im oberen gelben Tetraeder). Verbindet man die erste Kugel mit ihren 3 Nachbarn, bilden die Verbindungslinien jeweils rechte Winkel. Vielleicht ahnen Sie schon, welcher einfache geometrische Körper entstehen wird.

 

Die Mittelpunkte von 2 Tetraederlücken oberhalb der mittleren Kugelschicht sind mit ihren nächsten Nachbarn verbunden.

Gehen wir nun zum nächsten orangen Tetraeder. Es ist der hinten links liegende. Wir suchen die nächsten Nachbarn der roten Kugel in seinem Innern und erwarten, keine Überraschung zu erleben. Unsere Erwartung wird nicht enttäuscht. 2 der Nachbarn sind in der unteren Schicht, der dritte über der blauen Mittelkugel.

 

Verbindet man die Mittelpunkte aller 8 Tetraederlücken, scheint sich ein Würfel zu bilden.

Im nächsten Schritt geht es um die letzte rote Kugel, die in einem der orangen Tetraeder liegt. Auf dem Bild links sehen Sie die Verbindungen zwischen ihr und ihren 3 nächsten Nachbarn.

 

Ja wirklich. Alle 8 Tetraederlücken sind verbunden, der Würfel ist perfekt.

Zum guten Schluss verbinden wir noch die letzte, übrig gebliebene Kugel mit ihren 3 nächsten Nachbarn, und der Würfel ist perfekt. Naja, er liegt ein wenig schräg im Raum, aber das lässt sich ändern.

 

Nun sieht der Würfel so aus, wie man ihn kennt.

In die richtige Richtung gedreht, sieht der Würfel so aus, wie man Würfel von Bildern kennt. Dafür ist sind die Kugelschichten in die Schräge gedreht.

Damit sehen wir einen zweiten Grund, warum die kubisch–dichteste Kugelpackung kubisch heißt.

 

Insgesamt können wir festhalten : Jede Kugel der kubisch–dichtesten Kugelpackung wird von 8 Tetraederlücken umgeben. Die Lücken umgeben die Kugel in Form eines Würfels. Dies ist (im Gegensatz zur hexagonal–dichtesten Kugelpackung) ein ziemlich symmetrischer Körper, und es ist leicht zu sehen, dass alle Schwerpunkte der Tetraederlücken (also alle roten Kugeln) denselben Abstand von der blauen Mittelkugel haben, nämlich das 1,2247–fache des Radius dieser Kugel. Die Berechnung dieser Zahl können Sie im nächsten Abschnitt nachlesen.

Sehen Sie sich in einer Jmol–Visualisierung den Würfel an, den die Schwerpunkte der Tetraederlücken rund um eine Kugel bilden. Rufen Sie die Jmol–Visualisierung auf und ändern Sie Größe und Transparenz der Kugeln, so dass Ihnen die Szene übersichtlich erscheint. Blenden Sie den Würfel in mehreren Schritten ein und wieder aus. Wenn Sie wollen, können Sie auch die Tetraeder ein– und ausblenden, jedoch kann dies die Szene unübersichtlich machen. Betrachten Sie die Szene aus vielen Richtungen. Aus „Richtung 1” sehen Sie den Würfel aus einer gewohnten Richtung.

Wie groß sind die Tetraederlücken ?

Es geht hier nicht darum, das Volumen des Raumes zwischen den 4 Kugeln, die die Lücke umgeben, mit allen seinen Ausbuchtungen und Verzweigungen zu berechnen. Vielmehr will man wissen, wie groß eine Kugel höchstens sein darf, um in eine Tetraederlücke zu passen. Grund dieses Interesses ist, dass sich von der kubisch–dichtesten Kugelpackung eine Menge anderer Kristallstrukturen ableiten, bei denen Tetraederlücken mit anderen Atomen gefüllt sind.

 

Ein Tetraeder, durch eine Ebene halbiert.

Zur Untersuchung der Größe der Tetraederlücken halbieren wir einen Tetraeder. Wir tun dies, indem wir eine Ebene so durch den Tetraeder legen, dass sie durch 2 Eckpunkte geht und 2 Seiten halbiert. Das Bild links zeigt die Situation.

Die Ebene geht durch die beiden undurchsichtigen, kupferfarbenen Kugeln hinten und oben (es sind Ecken des Tetraeders) und durch die kleine rote Kugel in der Mitte des Tetraeders (sie füllt die Tetraederlücke aus). Mit den beiden anderen Ecken des Tetraeders, den durchsichtigen Kugeln vorn rechts und vorn links, hat die Ebene genau einen gemeinsamen Punkt. Sie ist Tangente an diese Kugeln.

Sehen Sie den durch eine Ebene halbierten Tetraeder in einer kleinen Jmol–Visualisierung an.

 

Schnittebene durch einen Tetraeder. Die Ebene geht durch 2 Ecken und den Schwerpunkt. Sie halbiert den Tetraeder.

Im nächsten Schritt sehen wir uns die Schnittebene an. Sie können sie links sehen. Die 2 blauen Kreise sind Schnitte durch die Kugeln der Kugelpackung. Der rote Kreis ist ein Schnitt durch eine Kugel, die die Tetraederlücke gerade ausfüllt. Wir führen einige Bezeichnungen ein und können schnell Aussagen über Stücke der Zeichnung machen.

  • rK : Radius der blauen Kugeln
  • rL : Radius der roten Kugel
  • AB : Die Strecke AB hat die Länge 2rK. Sie ist eine Kante des Tetraeders. Nenne die Länge dieser Strecke dAB. Es ist also dAB = 2rK.
  • AC und BC : Die Strecken AC und BC sind Seitenhalbierende der Tetraederflächen (denn wir haben die Schnittebene ja so gelegt, dass sie den Tetraeder halbiert). Ihre Länge brauchen wir nicht. Wichtig ist nur, dass jede Höhe des Tetraeders (er hat 4) ihren Fußpunkt auf der Seitenhalbierenden der gegenüberliegenden Fläche hat, und …
  • BH ist eine Höhe des Tetraeders. Ihre Länge sei dh. Eine Formelsammlung sagt uns, dass gilt : dh = sqrt(2/3) ∗ dAB. Es folgt dh = sqrt(2/3) ∗ 2 ∗ rK.

 

Nun sollten wir uns Gedanken über den Mittelpunkt M der roten Kugel machen. 2 Fragen stellen sich :

Hier sind die Antworten.

Die Berechnung von rL ist nun einfach. Wir nutzen aus, dass der Schwerpunkt M des Tetraeders die Höhe im Verhältnis 3:1 teilt. Für die Länge dBM der Strecke BM gilt also dBM = 3/4 ∗ dh. Es folgt dBM = 3/4 ∗ sqrt(2/3) ∗ 2 ∗ rK = 1,2247 ∗ rK. Andererseits gilt dBM = rK + rL. Aus den beiden vorigen Gleichungen erhält man 1,2247 ∗ rK = rK + rL und daraus rL = 0,2247 ∗ rK.

Damit ist die Frage nach der Größe der Tetraederlücke beantwortet. Besteht die kubisch–dichteste Kugelpackung aus Kugeln mit dem Radius r, so haben die tetraedrischen Lücken einen Radius von rL = 0,2247 ∗ r.

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Oktaederlücken

Die Besprechung der Oktaederlücken erfolgt in Analogie zu den Tetraederlücken. Sie werden hier wie dort dieselben Argumentationslinien finden. Ich werde aber nicht auf den Abschnitt über die Tetraederlücken verweisen und einfach sagen „Sehen Sie doch dort nach, wie die Zusammenhänge sind”, sondern auch die Oktaederlücken in der gewohnten Art behandeln, und mich damit zwangsweise öfter wiederholen.

Wie die Tetraederlücken sind auch die Oktaederlücken Lücken zwischen den Atomen zweier Schichten. Da das Aufeinanderlegen von 2 Atomschichten bei der hexagonal–dichtesten und der kubisch–dichtesten Kugelpackung identisch ist (Unterschiede finden sich erst in der dritten Schicht), ist dieser Abschnitt dem analogen Abschnitt der hexagonal–dichtesten Kugelpackung identisch.

Was ist eine Oktaederlücke ?

 

Die Kugeln der zweiten Schicht liegen über den schwarzen Markierungen. Dort sind Tetraederlücken.

Die Bildung der Oktaederlücken ist etwas schwieriger zu verstehen als die der Tetraederlücken. Wir gehen daher kurz zum Beginn dieser Seite zurück. Dort haben wir eine Schicht Kugeln genauer angesehen. Jeweils 3 Kugeln haben eine Mulde gebildet. Die Hälfte der Mulden hatten wir schwarz markiert, die andere Hälfte weiß. In die Mulden mit der schwarzen Markierung hatten wir die Kugeln der zweiten Schicht gelegt. Dadurch haben sich Lücken gebildet, die von 4 Kugeln umschlossen waren – dies waren die Tetraederlücken. Aber was passiert mit den weiß markierten Mulden ?

 

3 Kugeln sind markiert.

Um das herauszufinden, markieren wir in der Kugelschicht 3 benachbarte Kugeln, indem wir sie undurchsichtig kupferfarben lassen, während die anderen Kugeln durchsichtig gezeichnet sind. Zwischen den 3 markierten Kugeln ist eine weiße Markierung.

 

6 Kugeln sind markiert.

Im nächsten Schritt legen wir auf die Mulden mit der schwarzen Markierung, die der weißen Markierung am nächsten liegen, Kugeln. Es gibt 3 solcher Mulden, also auch 3 neue Kugeln. Natürlich liegen sie in der zweiten Schicht. Die 3 markierten Kugeln der ersten Kugelschicht und die die 3 neuen Kugeln (auch sie sind markiert, d.h. undurchsichtig) liegen rund um die weiße Markierung. Die weiße Markierung ist also von 6 Kugeln umgeben.

 

Auf dem ersten Bild sehen Sie den Oktaeder von schräg unten, auf dem zweiten so, wie man Oktaeder kennt – als Doppelpyramide.

Um die Umgebung der weißen Markierungen zu verstehen, brauchen wir die durchsichtigen Kugeln nicht mehr. Deshalb sehen Sie im nächsten Bild nur noch die 6 markierten Kugeln. Sie sind jetzt durchsichtig gezeichnet, denn dann sehen Sie die Verbindungslinien zwischen den Kugelmittelpunkten. Können Sie auf dem linken Bild schon erkennen, dass die 6 Kugelmittelpunkte einen Oktaeder bilden ? Nein ? Ehrlich gesagt, ich auch nicht. Drehen wir also das linke Bild ein wenig um die x–Achse, und wir erhalten das rechte Bild. Hier sehen Sie den Oktaeder deutlich.

 

Jede weiße Markierung ist ein Gebiet zwischen Atomen. Sie ist von 6 Atomen oktaederförmig umgeben. Daher nennt man sie eine Oktaederlücke. Sehen Sie sich die Oktaederlücken in einer Jmol–Visualisierung an. Bauen Sie die Oktaederlücken wie in der Beschreibung dieses Abschnitts schrittweise auf. Betrachten Sie die Szene aus verschiedenen Richtungen.

Wie viele Oktaederlücken gibt es ?

Dazu werden wir untersuchen, zu wievielen Oktaedern (und damit auch Oktaederlücken) eine gegebene Kugel gehört, das heißt, an wievielen Oktaedern sie beteiligt ist. Diese Kugel ist auf den Bildern der linken Spalte immer undurchsichtig und dunkelblau.

 

Die gegebene Kugel ist an mindestens einem Oktaeder beteiligt.

Im Detail werden wir nun etwas anders vorgehen als bei den Tetraederlücken. Im ersten Bild sehen Sie in der Mitte die gegebene Kugel, dunkelblau und undurchsichtig. Sie ist umgeben von 6 Kugeln der gleichen Schicht, kupferfarben und undurchsichtig. Darüber sind Kugeln der nächsten Schicht, durchsichtig gezeichnet. Die Mittelpunkte von 3 Kugeln der oberen Schicht bilden zusammen mit den Mittelpunkten von 3 Kugeln der unteren Schicht einen Oktaeder. Er ist rot eingezeichnet. Wie die Kugeln der oberen Schicht in den Mulden, die von Kugeln der mittleren Schicht gebildet werden, liegen, sehen Sie auf dem Bild links nicht deutlich. Nutzen Sie dafür die Jmol–Visualisierung am Ende dieses Abschnitts.

 

Die gegebene Kugel ist an mindestens zwei Oktaedern beteiligt.

Im nächsten Schritt erinnern wir uns an die Anordnung der Kugelschichten in der kubisch–dichtesten Kugelpackung. Über der gegebenen Schicht von Kugeln liegt eine Schicht von Kugeln, und natürlich auch darunter. Diese beiden Schichten (gemeint sind die über und die unter der gegebenen Schicht) liegen nicht wie bei der hexagonal–dichtesten Kugelpackung genau übereinander, sondern sind gegeneinander versetzt.

3 Kugeln der gegebenen Schicht und 3 Kugeln der darüberliegenden Schicht bilden ein Oktaeder, und genauso bilden 3 Kugeln der gegebenen Schicht (es sind aber nicht dieselben) mit 3 Kugeln der darunterliegenden Schicht ein Oktaeder. Da die beiden Schichten nicht übereinander liegen, liegen auch die Oktaeder nicht übereinander, sondern sind gegeneinander versetzt.

Im Bild links sehen Sie diese Situation. Die gegebene Kugeln ist nun schon an 2 Oktaedern beteiligt.

 

Die gegebene Kugel ist insgesamt an 6 Oktaedern beteiligt.

Der dritte und letzte Schritt ist einfach. In den vorigen beiden Schritten hatten wir Oktaeder konstruiert, an denen die gegebene Kugel und 2 ihrer Nachbarn in der gleichen Schicht beteiligt waren. Die gegebene Kugel hat in der gleichen Schicht insgesamt 6 Nachbarn, also können wir die Schritte von eben noch zweimal wiederholen, und wir erhalten 4 weitere Oktaeder, an denen die gegebene Kugel betetilgt ist.

Die Anfangsfrage ist nun beantwortet. Jede Kugel ist an 6 Oktaedern beteiligt.

 

Wir wissen aber noch nicht, wieviele Oktaederlücken es gibt. Das ist leicht herauszufinden. Betrachten wir dazu eine Gruppe aus n Kugeln. Da jede Kugel an 6 Oktaedern beteiligt ist, kann man 6n Oktaeder konstruieren. Nun müssen wir nur noch beachten, dass wir jeden Oktaeder 6 mal konstruiert haben, denn er hat ja 6 Kugeln, und bei jeder dieser Kugeln haben wir ihn konstruiert. Die Gesamtzahl der Oktaeder muss also durch 6 geteilt werden, und wir erhalten n Tetraeder.

Eine Gruppe aus n Kugeln hat n Oktaederlücken. Es gibt also genauso viele Oktaederlücken wie Kugeln (=Atome).

Sehen Sie sich in einer Jmol–Visualisierung die Konstruktion der Oktaederlücken an. Rufen Sie die Jmol–Visualisierung auf und ändern Sie Größe und Transparenz der Kugeln, so dass Ihnen die Szene übersichtlich erscheint. Blenden Sie die Oktaeder ein und wieder aus, und füllen Sie sie mit grünen Kugeln. Betrachten Sie die Szene aus vielen Richtungen.

Wo liegen die Oktaederlücken ?

Sehen Sie sich zuerst das vorige Bild an. Es enthält (neben mehreren Atomen) 6 Oktaeder. In ihrem Innern sind die 6 Oktaederlücken, die das Atom umgeben. Im folgenden werden wir die Oktaederlücken durch grüne Kugeln darstellen, die jeweils im Schwerpunkt der Lücke liegen.

 

Eine grüne Kugel und ihre Nachbarn.

Sehen wir uns erst eine der Oktaederlücken an. Sie gehört zu dem magentafarbenen Oktaeder rechts unten, und sie hat 4 Nachbarn. Das heißt, 4 der anderen Oktaederlücken sind gleichweit von ihr entfernt, die fünfte ist weiter weg. Das ist leicht zu begründen. Der magentafarbene Oktaeder hat 4 Oktaeder als Nachbarn. Mit diesen hat er eine gemeinsame Kante. Nur der blaue Oktaeder ist weiter entfernt. Der magentafarbene und der blaue Oktaeder haben nur eine gemeinsame Ecke.

Diese erste magentafarbene Lücke ist mit ihren 4 Nachbarn durch grüne Linien verbunden. Was wird wohl für ein geometrischer Körper entstehen, wenn man alle Kugeln mit ihren Nachbarn verbindet ? Man sieht es noch nicht.

 

Von den 2 gegenüberliegenden Kugeln gehen insgesamt 8 Verbindungslinien zu den jeweiligen Nachbarn aus.

Sehen wir uns als nächstes die Okatederlücke an, die der eben betrachteten gegenüber liegt. Sie gehört zu dem blauen Oktaeder, und natürlich hat sie auch 4 Nachbarn – nämlich alle außer dem magentafarbenen. Wir verbinden die Kugel in ihrem Innern mit den Kugeln im Innern der 4 Nachbaroktaeder durch grüne Linien.

 

12 grüne Linien bilden einen einfachen geometrischen Körper. Aber welchen ?

Natürlich haben nicht nur der magentafarbene und der blaue Oktaeder 4 Nachbarn, sondern alle. Wir vervollständigen das Bild, indem wir auch die Kugeln im Innern der anderen Okateder mit den jeweiligen Nachbarkugeln verbinden. Insgesamt haben wir nun 12 grüne Verbindungslinien. Bestimmt sehen Sie schon, welchen einfachen geometrischen Körper diese Linien bilden. Oder doch nicht ?

 

Wenn man ihn aus der richtigen Richtung betrachtet, sieht der Oktaeder wie ein Oktaeder aus.

Also drehen wir die Szene ein wenig. Nun ist es klar. Die Mittelpunkte der Oktaederlücken bilden wieder einen Oktaeder.

 

Insgesamt können wir festhalten : Jede Kugel der kubisch–dichtesten Kugelpackung wird von 6 Oktaederlücken umgeben. Die Lücken umgeben die Kugel in Form eines Oktaeders. Alle Schwerpunkte der Oktaederlücken haben denselben Abstand von der gegebenen Kugel, nämlich das 1,4142–fache des Radius dieser Kugel. Die Berechnung dieser Zahl können Sie im nächsten Abschnitt nachlesen. Die Oktaederlücken sind also viel größer als die Tetraederlücken.

Sehen Sie sich in einer Jmol–Visualisierung den Oktaeder an, den die Schwerpunkte der Oktaederlücken rund um eine Kugel bilden. Rufen Sie die Jmol–Visualisierung auf und ändern Sie Größe und Transparenz der Kugeln, so dass Ihnen die Szene übersichtlich erscheint. Blenden Sie den Oktaeder ein und wieder aus. Wenn Sie wollen, können Sie auch die Oktaederlücken ein– und ausblenden, jedoch kann dies die Szene unübersichtlich machen. Betrachten Sie die Szene aus vielen Richtungen. Insbesondere „Richtung 5” zeigt den Oktaeder deutlich.

Wie groß sind die Oktaederlücken ?

Wieder steht die Frage im Mittelpunkt, wie groß eine Kugel höchstens sein darf, um in eine Oktaederlücke zu passen. Grund dieses Interesses ist, dass sich von der hexagonal–dichtesten Kugelpackung eine Menge anderer Kristallstrukturen ableiten, bei denen Oktaederlücken mit anderen Atomen gefüllt sind.

 

Ein Oktaeder, durch eine Ebene halbiert.

Zur Untersuchung der Größe der Oktaederlücken halbieren wir einen Oktaeder. Es gibt nur eine Möglichkeit, einen Oktaeder symmetrisch zu halbieren. Wir legen dazu eine Ebene durch 4 Eckpunkte. Das Bild links zeigt die Situation.

Die Schnittebene halbiert 4 Kugeln. Es sind die Ecken des Oktaeders, und ihre Mittelpunkte bilden ein Quadrat. Im Bild links nicht eingezeichnet ist die Kugel, die die Oktaederlücke ausfüllt.

Sehen Sie den durch eine Ebene halbierten Oktaeder in einer kleinen Jmol–Visualisierung an.

 

Schnittebene durch einen Oktaeder. Die Ebene geht durch 4 Ecken und den Schwerpunkt. Sie halbiert den Oktaeder.

Im nächsten Schritt sehen wir uns die Schnittebene an. Sie können sie links sehen. Die 4 blauen Kreise sind Schnitte durch die Kugeln der Kugelpackung. Der grüne Kreis ist ein Schnitt durch eine Kugel, die die Oktaederlücke gerade ausfüllt. Wir führen einige Bezeichnungen ein und können schnell Aussagen über Stücke der Zeichnung machen.

  • rK : Radius der blauen Kugeln
  • rL : Radius der grünen Kugel
  • AB : Die Strecke AB hat die Länge 2rK. Sie ist eine Kante des Oktaeders. Nenne die Länge dieser Strecke dAB. Es ist also dAB = 2rK.
  • BC, CD und AD : Da der Schnitt durch den Oktaeder ein Quadrat ist, haben diese Seite dieselbe Länge 2rK.
  • AM, BM, CM und DM : Alle diese Strecken vom Mittelpunkt M des Quadrats (und damit auch vom Mittelpunkt M des Oktaeders) zu seinen Ecken haben dieselbe Länge. Nenne sie dAM. Es ist dAM = rK + rL.

 

Die Berechnung von rL ist nun einfach. Betrachte dazu das Dreieck ABM. Nach dem Satz von Pythagoras gilt dAM2 + dAM2 = dAB2.
Es folgt (rK + rL)2 + (rK + rL)2 = (2rK)2.
Daraus folgt 2 rK2 + 4 rkrL + 2 rL2 = 4 rK2.
Weiter folgt 2 rL2 + 4 rkrL – 2 rK2 = 0
und rL2 + 2 rkrL – rK2 = 0.
Nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen folgt
rL = – rk ± sqrt(2 rK2).
Eine der beiden Lösungen ist negativ. Sie wird verworfen. Die andere lautet
rL = – rk + sqrt(2) ∗ rK = rK ∗ (sqrt(2)–1) = 0,4142 ∗ rK.

Damit ist die Frage nach der Größe der Oktaederlücke beantwortet. Besteht die kubisch–dichteste Kugelpackung aus Kugeln mit dem Radius r, so haben die oktaedrischen Lücken einen Radius von rL = 0,4142 ∗ r. Sie sind also wesentlich größer als die tetraedrischen Lücken.

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Vertreter

 

Dieses Stück gediegenes Kupfer stammt
aus Michigan/USA und ist knapp 6 cm groß.
Es besteht aus unzähligen winzigen
Kristallen, in denen die Atome in der
kubisch–dichtesten Packung angeordnet sind.

In der kubisch–dichtesten Kugelpackung kristallisieren Edelgase und Metalle. Bei Normalbedingungen gehören dazu die unten Aufgezählten.

Ich habe die Liste aus dem  PSE von Mark Winter von der Universität Sheffield zusammengestellt. Dort finden Sie auch zu jedem Element Nachweise von Originalliteratur zur Kristallstruktur.

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